AMC 10 · 2014 · #9
학년 6 algebra mean-median-mode-rangesequences-arithmetic convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
연속한 수들의 평균이 있고, 그 평균이 새로운 연속 수열을 시작한다. 두 번째 수열의 평균을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
a+3
(B)
a+4
(C)
a+5
(D)
a+6
(E)
a+7
풀이 과정
전략 변수 도입하기
모든 것이 문자 하나 a에 달려 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 다섯 정수를 a, a+1, a+2, a+3, a+4로 적으면 말을 정확한 평균 식으로 바꿀 수 있다. 도구 #5(패턴 찾기)는 핵심 지름길을 준다: 연속한 정수 다섯 개의 평균은 항상 가운데 수이므로, 긴 목록을 두 번 더할 필요가 없다.
1STEP 1
다섯 정수에 이름 붙이기
시작값이 다섯 수를 모두 이름 짓는다.
a, a+1, a+2, a+3, a+4
연속한 정수는 하나씩 올라가므로, 문자 하나에 0,1,2,3,4를 더하면 전부 이름이 붙는다.
6.EE.A.2Introduce A Variable2STEP 2
평균을 구해 b 얻기
그 평균은 가운데 것이다.
b=(5a+10)/5=a+2
평균은 합을 똑같이 나눈 값이고, 고르게 늘어선 수에서는 그 몫이 가운데 수에 딱 맞는다.
6.SP.B.5Introduce A Variable3STEP 3
가운데 항이 평균
같은 규칙이 두 번째 수열에도 적용된다.
b, b+1, b+2, b+3, b+4 → 평균=b+2
다섯 개가 줄지어 있으면 항상 가운데 값을 중심으로 균형을 이루므로, 가운데 항이 곧 평균이다.
연속한 다섯 정수는 언제나 가운데 값에서 균형을 이루므로, 가운데 항이 매번 평균이 된다.
▸ 왜?
같은 간격으로 놓인 항은 가운데를 중심으로 대칭이므로, 바깥 항들이 서로 지워진다.
일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
▸ 왜?
평균은 총합을 개수로 나눈 것이며, 그 값이 정확히 가운데 항에 놓인다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
4STEP 4
b = a + 2 대입하기
대입하면 a 더하기 4다, 보기 (B).
b+2=(a+2)+2=a+4 → (B)
평균 단계마다 시작점이 2씩 올라가고, 두 번 하면 a가 4만큼 커진다.
6.EE.A.3Introduce A Variable정답
a+4
실제 수로 확인하자. a=1이면 첫 목록은 1,2,3,4,5이고 평균은 b=3이다. 두 번째 목록은 3에서 시작하는 3,4,5,6,7이고 평균은 5이다. 그리고 a+4=1+4=5로 일치한다. 평균을 낼 때마다 시작점이 정확히 2씩 올라갔고, 두 번 하면 +4이므로 (B)가 일관되며 다른 선택지는 배제된다.
💡핵심 정리
연속한 다섯 수의 평균은 바로 가운데 수이고, 평균을 두 번 내면 시작 수가 매번 2씩 올라가므로 a는 a+4까지 올라간다.
- 다섯 정수에 이름 붙이기
- 평균을 구해 b 얻기
- 가운데 항이 평균
- b = a + 2 대입하기