AMC 10 · 2014 · #13

학년 9 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

polygon-inequalityquadratic-equationsoptimizationfraction-arithmetic extreme-principleconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: polygon-inequalityquadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 길이 삼조 중 어느 것도 진짜 삼각형이 될 수 없다. 큰 쪽 수의 최솟값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

(B)

$\frac{5}{2}$

(C)

$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

(D)

$\frac{3+\sqrt{6}}{2}$

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

문제는 금지의 형태로 적혀 있다. 두 세 쌍이 삼각형이 되면 안 된다는 것이다. 금지는 그대로 계산하기 어려우니 먼저 뒤집는다. 세 길이가 넓이가 양수인 삼각형을 이루는 것은 가장 긴 길이가 나머지 둘의 합보다 짧을 때뿐이므로, "넓이가 양수인 삼각형이 안 된다"는 "가장 긴 길이가 나머지 둘의 합 이상이다"와 정확히 같은 말이다. 이렇게 하면 두 금지가 각각 평범한 부등식이 된다. 두 부등식에는 a와 b가 함께 들어 있고 최소로 만들 대상은 b뿐이므로, 정리 방식을 바꾼다. b를 고정해 두고 어떤 a가 살아남는지를 묻는다. 한 조건은 a를 아래로 누르고 다른 조건은 위로 밀어 올려서, 둘이 합쳐지면 a를 어떤 구간 안에 가둔다. 그러면 b가 가능한 값인지는 그 구간이 비어 있지 않은지와 같은 말이 되고, 이는 b만의 부등식 하나가 된다. 그 경계는 구간이 한 점으로 줄어드는 자리이고, 그것이 바로 문제가 묻는 극단이다. 마지막 조각은 넘어가기 쉬운 부분이다. 그 경계값이 실제로 도달된다는 것을, 짝이 되는 a를 직접 제시하고 원래의 두 조건을 그대로 확인해서 증명해야 한다.

1STEP 1

금지를 부등식으로 뒤집기

실패는 삼각부등식을 뒤집은 것이다.

넓이가 양수 ⇔ 가장 긴 길이 ＜ 나머지 둘의 합 ⟹ 넓이가 양수인 삼각형 아님 ⇔ 가장 긴 길이 ≥ 나머지 둘의 합

2STEP 2

두 금지를 부등식으로 쓰기

두 금지가 깔끔한 부등식이 된다.

b ≥ 1 + a, 1/a + 1/b ≤ 1, b ＞ 2

3STEP 3

두 번째 금지의 분수 없애기

분수를 없애면 둘째가 쓸 만해진다.

1/a + 1/b ≤ 1 ⟺ a + b ≤ ab ⟺ b ≤ a(b-1) ⟺ a ≥ b/(b-1)

4STEP 4

a를 두 경계 사이에 가두기

작은 수가 두 경계 사이에 갇힌다.

b/(b-1) ≤ a ≤ b-1, b/(b-1) ＞ 1 과 b-1 ＜ b 는 저절로 성립

5STEP 5

구간이 비지 않을 조건은 이차식

그 구간이 비지 않으려면 이차식 하나가 필요하다.

b/(b-1) ≤ b-1 ⇔ b² - 3b + 1 ≥ 0 ⇔ b ≤ (3-√(5))/2 또는 b ≥ (3+√(5))/2; b ＞ 2 → b ≥ (3+√(5))/2

6STEP 6

그 경계가 실제로 도달됨을 보이기

그 근에 실제로 닿으므로 보기 (B)가 답이다.

a = (1+√(5))/2, b = (3+√(5))/2: 1 + a = b, 1/a + 1/a² = (a+1)/a² = 1

정답

(3+√(5))/2

바로 아래 선택지들을 직접 시험해 본다. b = 5/2이면 4단계의 구간은 2.5/1.5 = 1.6 ≤ a ≤ 1.5를 요구하는데 이는 비어 있으므로 선택지 (B)는 불가능하다. (3+√(3))/2 ≈ 2.37도 구간이 [1.73, 1.37]이라 같은 이유로 탈락한다. b = 3이면 구간이 [1.5, 2]라서 성립하므로 3은 가능하지만 가장 작지는 않고, (3+√(5))/2보다 큰 선택지는 모두 같은 이유로 가능하다. 이 순서 자체가 좋은 신호다. 가능성은 꼬리 조건이어서 큰 b에서는 항상 참이고 어떤 문턱 아래에서는 항상 거짓이므로, 답은 정확히 그 문턱인 ≈ 2.618이어야 하고 실패하는 2.5와 성립하는 2.724 사이에 놓인다. "넓이가 양수인"이라는 말이 하는 일도 짚어 둘 만하다. 만약 문제가 납작한 경우까지 금지했다면 조건은 b ＞ 1 + a와 1/a + 1/b ＜ 1처럼 엄격해지고, 가능한 집합은 b ＞ (3+√(5))/2가 되어 가장 작은 원소가 없으므로 문제에 답이 존재하지 않는다. 6단계가 가능한 것은 이 표현 덕분이다.

💡핵심 정리

"이 길이들로는 삼각형을 못 만든다"를 "가장 긴 변이 나머지 둘을 합친 것보다 짧지 않다"로 바꿔 쓰면, 한 규칙은 가운데 수를 위로 밀고 다른 규칙은 아래로 누른다. 가장 작은 b는 그 두 힘이 정확히 만나는 자리다.

금지를 부등식으로 뒤집기
두 금지를 부등식으로 쓰기
두 번째 금지의 분수 없애기
a를 두 경계 사이에 가두기
구간이 비지 않을 조건은 이차식
그 경계가 실제로 도달됨을 보이기