AMC 10 · 2014 · #21

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometrysimilar-trianglesthirty-sixty-ninety-trianglepythagorean-theoremquadratic-equations convert-to-algebracoordinate-geometry ↑ 선수 지식: similar-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트 📊 도형

문제

합동인 두 직사각형이 정사각형 안에 있고, 하나는 반듯하고 하나는 기울어져 있다. 한 선분의 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}(\sqrt{6}-2)$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$2-\sqrt{3}$

(D)

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

(E)

$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

그림은 길이를 하나도 알려 주지 않으므로 재거나 곧바로 쫓아갈 것이 없다. 진짜 어려운 점은 숨은 미지수가 하나가 아니라 둘이라는 것이다. 폭 BE와 JKHG의 기울기다. 도구 #4(변수 도입하기)로 둘 다 먼저 이름 붙인다. 폭은 x=BE로, 기울기는 단위 방향벡터 (u,v)로 둔다. 도구 #1(그림 그리기)과 도구 #17(공간 상상하기)은 "JKHG가 직사각형이다"를 좌표로 옮기는 일을 맡는다. 정사각형을 좌표축 위에 올린 뒤 J와 방향 (u,v), 그리고 그것을 90° 돌린 (-v,u)만으로 직사각형 전체를 세우면 직사각형이라는 조건이 식을 전혀 잡아먹지 않는다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 그림이 실제로 주는 사실, 즉 어느 꼭짓점이 어느 직선에 붙어 있는지를 세 개의 평범한 식으로 적는다. 여기서 엄격할 필요가 있다. 그림을 보고 네 모서리 삼각형이 닮음이라고 선언한 뒤 같은 길이를 읽어내고 싶어지지만, 그런 주장은 모두 증명이 아니라 그림 읽기다. 접촉 조건이 내용의 전부이고, 그것만으로 충분하다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 기울기 u를 두 번 뽑아낸다. 한 번은 JG의 길이가 1이어야 한다는 조건에서, 한 번은 K가 EF 위에 놓여야 한다는 조건에서다. 두 식이 일치해야 한다는 것이 모든 것을 결정하는 방정식이다. 도구 #3(가능성 지우기)은 대수가 만들어 내지만 기하가 허락하지 않는 두 해를 버린다. 기울지 않은 배치와 1보다 큰 근이다.

1STEP 1

정사각형을 좌표축 위에 올리기

좌표가 모든 꼭짓점을 이름 짓는다.

B=(0,0), A=(1,0), C=(0,1), D=(1,1)

2STEP 2

BE에 이름 붙이고 합동을 쓰기

합동이 두 변을 모두 옮긴다.

x=BE, E=(x,0), F=(x,1), JG=1, JK=x

3STEP 3

방향 하나로 기울어진 직사각형 세우기

방향 하나가 기울어진 직사각형을 세운다.

J=(j,0), G=(j+u, v), K=(j-xv, xu), H=(j-xv+u, xu+v), u²+v²=1

4STEP 4

접촉 사실을 식으로 적기

각 접촉점이 방정식 하나다.

j+u=1, xu+v=1, j-xv=x, u²+v²=1

5STEP 5

길이 조건에서 기울기 뽑기

길이 조건이 기울기를 한 번 준다.

u²+(1-xu)²=1 ⟹ u[(1+x²)u-2x]=0 ⟹ u=2x/(1+x²)

6STEP 6

K 조건에서 기울기를 한 번 더 뽑기

접촉 조건이 그것을 다시 준다.

(1-u)-x(1-xu)=x ⟹ 1-2x=u(1-x²) ⟹ u=(1-2x)/(1-x²)

7STEP 7

두 기울기를 일치시키기

둘을 맞추면 단순한 이차식이 된다.

2x/(1+x²)=(1-2x)/(1-x²) ⟹ x²-4x+1=0 ⟹ x=2±√(3), 그리고 0 ＜ x ＜ 1 이므로 x=2-√(3)

8STEP 8

그림을 다시 세워 확인하기

다시 세우면 2-√3이 확인된다, 보기 (C).

u=1/2, v=√(3)/2, j=1/2 ⟹ BE=2-√(3) → (C)

정답

2-√(3)

먼저 크기를 보자. 2-√(3)≈ 0.268로 0과 1/2 사이에 넉넉히 들어가므로 EBCF는 변 BC에 붙은 좁은 직사각형이고, 그림이 보여 주는 모습과 같다. 이 문제는 어림으로 대수를 대신할 수 없는 문제다. 보기의 값이 각각 약 0.225, 0.25, 0.268, 0.289, 0.293으로 좁은 구간에 몰려 있기 때문이다. 다음은 풀이에서 쓰지 않은 조각들을 쓰는 넓이 검산이다. j=1/2, u=1/2, v=√(3)/2일 때 정사각형은 두 직사각형과 A, D, F, E 쪽의 직각삼각형 넷으로 나뉜다. 두 직사각형의 넓이 합은 2x=4-2√(3)이다. 삼각형 JAG와 HFK는 각각 두 직각변이 1/2와 √(3)/2이므로 합이 2·√(3)/8=√(3)/4이다. 삼각형 GDH와 KEJ는 각각 두 직각변이 x·1/2와 x·√(3)/2이므로 합이 x²·√(3)/4=(7√(3)-12)/4이다. 전체를 더하면 (4-2√(3))+√(3)/4+(7√(3)-12)/4=4-2√(3)+2√(3)-3=1로 정확히 정사각형의 넓이이므로 여섯 조각이 남김없이 정사각형을 덮는다. 확인할 것이 두 가지 더 있다. 버린 근은 우연이 아니다. (2-√(3))(2+√(3))=1이므로 두 근은 역수 관계이고, 단위 정사각형 안의 길이가 될 수 있는 것은 1보다 작은 쪽뿐이다. 그리고 2단계에서 한 그림 읽기는 결과를 바꾸지 않는다. 대신 JG=x, JK=1로 잡으면 같은 구성에서 j+xu=1, u+xv=1, j-v=x가 나오고, 이는 v=2x/(1+x²)와 v=(1-2x)/(1-x²)로 정리되어 u 자리에 v가 들어간 똑같은 한 쌍의 식이 된다. 따라서 똑같은 이차방정식과 똑같은 답 (C)가 나온다.

💡핵심 정리

기울어진 도형에는 비밀이 둘 있다. 어디서 시작하는지와 얼마나 기우는지다. 둘 다 이름 붙이고 어느 꼭짓점이 어느 변에 붙어야 하는지 적어 내면, 그림은 스스로 답하는 이차방정식 하나가 된다.

정사각형을 좌표축 위에 올리기
BE에 이름 붙이고 합동을 쓰기
방향 하나로 기울어진 직사각형 세우기
접촉 사실을 식으로 적기
길이 조건에서 기울기 뽑기
K 조건에서 기울기를 한 번 더 뽑기
두 기울기를 일치시키기
그림을 다시 세워 확인하기