AMC 10 · 2014 · #24
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
모르는 대각선이 다섯 개인데 직각 하나 보이지 않으니, 먼저 할 일은 미지수의 개수를 줄이는 것이다. 변의 길이가 3,10,3,10,14로 반복되는데, 원 위에서 같은 현은 같은 호를 뜻하므로 다섯 대각선 중 셋이 길이가 완전히 같아진다. 미지수가 셋으로 줄고, 여기에 프톨레마이오스 정리(원에 내접하는 모든 사각형이 정확히 만족하는 등식)를 두 번 쓰면 두 미지수에 대한 두 식이 나오고, 그것이 하나의 삼차방정식으로 합쳐진다. 삼차방정식의 양의 근이 하나뿐이므로 값은 강제된다. 여기서 미리 짚어야 할 함정이 하나 있다. 지금까지 쓴 모든 식은 오각형이 존재한다는 전제의 결과다. 그 식들을 푸는 것은 "오각형이 존재한다면 대각선은 이 값이다"만 증명할 뿐, 오각형을 만들어 주지는 않는다. 그래서 마지막에 원에서부터 도형을 실제로 세우고, BC=10과 DE=10을 가정하지 않고 계산해서 확인한다. 프톨레마이오스를 삼각함수보다 먼저 고른 것도 의도적이다. 그림에서 읽어 오는 사실이 하나도 없어야 하기 때문이다.
같은 변은 같은 호를 만든다
같은 변이 같은 호를 강제한다.
같은 원, 같은 현이면 원을 베어 내는 크기도 같다 — 두 조각이 합쳐서 원 전체가 되는 경우만 빼면, 그런데 그럴 자리가 없다.
같은 원에서 같은 현은 언제나 원의 같은 조각을 잘라 낸다.
▸ 왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으므로, 같은 현은 같은 중심각을 이룬다.
▸ 왜?
호는 그 중심각이 원 전체에서 차지하는 몫이므로, 각이 같으면 호도 같다.
대각선 셋은 길이가 하나다
대각선 셋이 한 길이를 공유한다.
대각선은 원의 어느 만큼을 건너뛰는지만 신경 쓰는데, 이 셋은 똑같이 3짜리 호와 10짜리 호를 건너뛴다.
10.G-C.A.2Introduce A Variable프톨레마이오스 식 두 개
항등식을 두 번 쓰면 방정식이 둘 나온다.
원 위의 네 점에서는 두 대각선이 네 변에 하나의 정확한 곱셈 규칙으로 묶여 있다.
10.G-SRT.B.5Convert To Algebraa를 소거해 삼차방정식으로
소거하면 삼차식 하나가 남는다.
미지수 두 개짜리 식 두 개가 미지수 한 개짜리 식 하나로 줄고, 양의 근이 하나뿐인 삼차식은 선택의 여지를 남기지 않는다.
11.A-APR.B.3Convert To Algebra값을 믿기 전에 오각형을 만들어 본다
그 오각형은 실제로 그릴 수 있다.
식을 푸는 것은 답이 무엇이어야 하는지를 증명하고, 도형을 그리는 것은 답이 존재한다는 것을 증명한다.
11.G-SRT.D.11Draw A DiagramBE 읽어 내기
대각선 하나가 곧바로 따라 나온다.
가장 어려운 길이 하나만 잡히면 나머지 식들은 답을 그냥 내어 준다.
8.EE.C.7Introduce A VariableAD를 위한 프톨레마이오스 한 번 더
항등식을 한 번 더 쓰면 마지막 것이 나온다.
꼭짓점 하나를 빼면 새 사각형이 생기는데, 그 대각선이 바로 아직 남은 두 길이다.
10.G-SRT.B.5Convert To Algebra다섯 대각선 더하기
더하면 분모가 6인 분수가 된다.
같은 길이 셋과 분수 둘이니, 통분해서 한 번 더하면 끝이다.
5.NF.A.1Identify Subproblems약분 확인하고 고르기
그것은 이미 기약이므로 391이다.
약분될 게 없는지 확인해야 비로소 그 분수가 m/n이다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities원 위에서 같은 변은 같은 호를 자르므로 다섯 대각선 중 셋은 사실 같은 길이다 — 그 길이 하나에 이름을 붙이면 프톨레마이오스 정리가 오각형 전체를 삼차방정식 하나로 압축해 준다.
- 같은 변은 같은 호를 만든다
- 대각선 셋은 길이가 하나다
- 프톨레마이오스 식 두 개
- a를 소거해 삼차방정식으로
- 값을 믿기 전에 오각형을 만들어 본다
- BE 읽어 내기
- AD를 위한 프톨레마이오스 한 번 더
- 다섯 대각선 더하기
- 약분 확인하고 고르기