AMC 10 · 2014 · #3
학년 6 rate-ratio linear-equations-one-varfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 구간은 전체의 분수이고 한 구간은 정해진 길이다. 전체 거리를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
30
(B)
$\frac{400}{11}$
(C)
$\frac{75}{2}$
(D)
40
(E)
$\frac{300}{7}$
풀이 과정
전략 변수 도입하기
전체 여행은 나머지 모든 것을 재는 기준이 되는 하나의 수이므로, 도구 #4 (변수 도입하기)로 이것을 x라 이름 붙이면 "전체의 1/3"과 "전체의 1/5"이 각각 x/3, x/5이 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 일을 깔끔하게 나눈다. 먼저 두 분수 구간을 합치고, 그다음 포장도로가 채워야 할 분수를 알아낸다. 도구 #13 (대수로 바꾸기)은 "부분을 합치면 전체"라는 문장을 하나의 방정식으로 옮겨서, 20마일이 떠다니지 않고 x를 딱 정해 주도록 한다.
1STEP 1
전체 여행에 이름 붙이기
문자 하나가 전체 여행을 이름 짓는다.
자갈길 = x/3, 포장도로 = 20, 흙길 = x/5
미지의 전체에 이름을 붙이면 "전체의 몇 분의 몇"이 모두 더할 수 있는 진짜 식이 된다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
두 분수 구간 합치기
두 분수를 합치면 8/15다.
1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 8/15
두 분수를 같은 분모로 바꾸면 하나의 몫으로 합쳐 전체의 한 몫으로 만들 수 있다.
5.NF.A.1Identify Subproblems3STEP 3
포장도로의 몫 구하기
남은 것이 정해진 구간이다.
1 - 8/15 = 7/15, 따라서 7/15x = 20
두 분수가 덮지 못한 나머지를 포장도로가 덮으므로, 포장도로의 몫이 20마일과 같다.
두 분수가 덮지 않은 것을 포장도로가 덮으므로, 그 몫은 여정에서 남은 부분이다.
▸ 왜?
여정은 세 구간을 모은 것 그대로이므로, 몫이 그것을 남김없이 채워야 한다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
▸ 왜?
두 분수를 하나의 분모로 다시 쓰면 값을 바꾸지 않고 더할 수 있다.
동치분수분수의 분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 값은 변하지 않는다.
4STEP 4
전체 거리 구하기
풀면 300/7, 보기 (E).
x = 20 · 15/7 = 300/7 → (E)
역수를 곱하면 7/15이 벗겨지고 전체 여행 x만 남는다.
6.NS.A.1Introduce A Variable정답
300/7
x = 300/7을 다시 넣어 보면 자갈길 = 1/3·300/7 = 100/7, 흙길 = 1/5·300/7 = 60/7이다. 둘의 합은 160/7이고, 포장도로 20 = 140/7마일을 더하면 300/7으로 정확히 전체 여행이 된다. 값 300/7 ≈ 42.9마일은 40보다 조금 크며, 이는 포장도로가 전체의 7/15(절반 미만)뿐이므로 전체 여행이 20의 두 배보다 커야 한다는 점과 맞아떨어진다.
💡핵심 정리
20마일은 두 분수가 남긴 나머지 몫이므로, 먼저 그 남은 분수를 구하면 된다.
- 전체 여행에 이름 붙이기
- 두 분수 구간 합치기
- 포장도로의 몫 구하기
- 전체 거리 구하기