AMC 10 · 2014 · #4
학년 8 algebrarate-ratio systems-of-equationsratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
같은 두 물건으로 담은 두 바구니의 총액 비를 안다. 두 가격의 비를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{3}{2}$
(B)
$\frac{5}{3}$
(C)
$\frac{7}{4}$
(D)
2
(E)
$\frac{13}{4}$
풀이 과정
전략 변수 도입하기
가격을 모르므로 도구 #4(변수 도입하기)로 머핀을 m, 바나나를 b 로 이름 붙이고 각자의 합계를 식으로 씁니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 "두 배"라는 말을 하나의 방정식으로 바꾸고, 같은 항을 모으면 비 m/b가 바로 나옵니다 — 두 가격이 소거되어 달러 금액이 필요 없습니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 점검 필터입니다: 여기서는 머핀이 바나나보다 분명히 비싸므로 비는 1 보다 커야 하고, 계산에 딱 맞는 깔끔한 값은 5/3 뿐입니다.
1STEP 1
가격에 이름 붙이고 합계 쓰기
문자 둘이 두 바구니의 값을 매긴다.
수지=4m+3b, 캘빈=2m+16b
모르는 가격마다 문자를 붙이면 달러 금액을 추측하지 않고도 합계를 정확히 쓸 수 있습니다.
6.EE.A.2Introduce A Variable2STEP 2
"두 배"를 방정식으로 바꾸기
비교가 하나의 방정식이 된다.
2m+16b=2(4m+3b)=8m+6b
"두 배"는 곧 2를 곱하는 것이고, 그 2를 분배하면 괄호가 풀려 양쪽이 단순한 합이 됩니다.
두 배라는 것은 2를 곱하는 것이며, 그 2를 퍼뜨리면 괄호가 걷힌다.
▸ 왜?
합에 걸린 인수는 안의 모든 항에 닿는다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
▸ 왜?
양변을 같은 연산으로 정리해도 등식은 참으로 남으므로, 그것이 가리키는 비도 그대로다.
양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
3STEP 3
같은 항을 모아 비 읽어내기
항을 모으면 5/3, 보기 (B).
2m+16b=8m+6b → 10b=6m → m/b=10/6=5/3 → (B)
머핀 항을 한쪽, 바나나 항을 다른 쪽에 모으고 나면 나눗셈 한 번으로 방정식이 곧바로 가격 비가 됩니다.
8.EE.C.7Introduce A Variable정답
5/3
답은 1 보다 커야 합니다. 캘빈은 머핀을 수지보다 적게(2 개 대 수지의 4 개) 사고 바나나를 잔뜩 사는데도 두 배를 내는데, 이는 머핀이 바나나보다 확실히 비쌀 때만 가능하기 때문입니다. 비 5/3≈1.67은 1 보다 넉넉히 크고 깔끔한 분수라 맞다는 신호입니다. 선택지 (D) 2 나 (E) 13/4이면 머핀이 너무 비싸져 10b=6m 에 맞지 않습니다.
💡핵심 정리
모르는 가격마다 문자를 붙이고, "두 배"를 방정식으로 바꾼 뒤 같은 항을 모으세요 — 가격이 소거되며 비가 바로 나옵니다.
- 가격에 이름 붙이고 합계 쓰기
- "두 배"를 방정식으로 바꾸기
- 같은 항을 모아 비 읽어내기