AMC 10 · 2015 · #1
학년 8 arithmetic order-of-operationsexponentsfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: order-of-operationsexponents
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
두 거듭제곱을 합치고 결과를 뒤집은 뒤 배로 늘린다. 그 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
-125
(B)
-120
(C)
$\frac{1}{5}$
(D)
$\frac{5}{24}$
(E)
25
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
이 식은 작은 연산들이 겹쳐 있습니다 — 거듭제곱 두 개, 괄호 안 덧셈·뺄셈의 연쇄, -1 지수, 마지막 곱셈 — 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 안쪽부터 한 겹씩 처리합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 내장된 함정을 막아 줍니다: -1 지수는 답을 음수로 만들지 않으므로 큰 음수 (A)와 (B)가 지워지고, 역수와 곱셈을 잊으면 25만 남으므로 (E)가 지워집니다.
1STEP 1
두 거듭제곱 계산하기
0제곱은 0이 아니라 1이다.
2⁰=1, 5²=25
0제곱은 항상 1이고, 제곱은 그 수를 자기 자신과 곱하는 것일 뿐입니다.
8.EE.A.1Identify Subproblems2STEP 2
괄호 안 정리하기
괄호 안이 모두 25로 줄어든다.
2⁰-1+5²-0 = 1-1+25-0 = 25
바깥의 지수를 건드리기 전에 괄호 안을 먼저 끝냅니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems3STEP 3
-1 지수 적용하기
지수가 그 수를 뒤집는다.
25⁻¹=1/25
-1 제곱은 그 수를 자기 자신 분의 1로 바꿀 뿐입니다.
마이너스 1 제곱은 어떤 수를 그 수분의 1로 바꿀 뿐이다.
▸ 왜?
어떤 수에 그 역수를 곱하면 1이 되므로, 역수가 바로 그것을 되돌린다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
1에 닿았다는 것이 그 짝이 되돌려졌다는 표시인데, 1을 곱해도 아무것도 달라지지 않기 때문이다.
곱셈의 항등원 (1)어떤 수의 1묶음은 그 수 자체 — 1을 곱하면 아무것도 안 바뀐다.
4STEP 4
5를 곱하고 약분하기
곱하면 1/5, 보기 (C).
1/25×5=5/25=1/5 → (C)
분수에 자연수를 곱하면 분자가 커지고, 공통 인수를 약분하면 됩니다.
5.NF.B.4Eliminate Possibilities정답
1/5
괄호 안은 25로 정리되어 1 보다 큰 수이므로 그 역수는 작은 양의 분수입니다. 그 작은 분수에 5를 곱해도 여전히 1 보다 훨씬 작아야 하고 — 1/5=0.2가 그렇습니다. 이것만으로 크거나 음수인 선택지는 바로 지워집니다. 함정 값 5/24은 2⁰을 0으로 잘못 세어(0-1+25-0=24) 나오고, 음수들은 -1 지수를 부호 바뀜으로 잘못 읽어 나옵니다 — 안쪽부터 차근히 계산하면 모두 살아남지 못합니다.
💡핵심 정리
괄호 안을 먼저 모두 정리하세요. -1 지수는 수를 자기 자신 분의 1로 뒤집을 뿐, 절대 음수로 만들지 않습니다.
- 두 거듭제곱 계산하기
- 괄호 안 정리하기
- -1 지수 적용하기
- 5를 곱하고 약분하기