AMC 10 · 2015 · #11

학년 10 geometry-2d
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type
tangent-circlescircle-equationcoordinate-geometry caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: tangent-circlescircle-equation
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
크기가 정해진 두 원이 어디에나 놓일 수 있고, 공통 접선의 수를 센다. 가능한 개수의 가짓수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
(E)
6
풀이 과정
전략 변수 도입하기

두 원을 놓는 방법은 중심 좌표가 둘씩이라 자유도가 네 개처럼 보이지만, 종이 전체를 밀거나 돌린다고 공통접선의 개수가 달라지지는 않는다. 그래서 배치 전체를 담아내는 수는 하나뿐이다. 바로 두 중심 사이의 거리 d이다. 이 수에 이름을 붙이면 k는 변수 하나짜리 함수 k(d)가 된다. 다음으로 "두 원에 동시에 접한다"를 거리에 관한 두 방정식으로 바꾸면, 그 함수는 그림으로 어림하는 대신 정확히 풀 수 있는 대수 문제가 된다. 그 대수 문제의 해의 개수는 d의 경계값 몇 곳에서만 바뀌고, 그 경계가 d의 범위를 짧은 몇 개의 구간으로 나눠 주어 표로 정리할 수 있다. 익숙한 원 그림들을 스케치하는 방식 대신 이 길을 택한 이유는, 스케치는 어떤 개수가 나온다는 것만 보여줄 뿐 다른 개수가 나오지 않음을 증명하지 못하기 때문이다. 그런데 보기 목록이 요구하는 것은 정확히 k = 5와 k = 6을 배제하는 일이다.

1STEP 1

설정을 수 하나로 압축하기

설정 전체가 하나의 거리로 줄어든다.

d = |O₁O₂| ≥ 0, k = k(d)
2STEP 2

접한다는 조건을 거리 방정식으로 바꾸기

접함이 단순한 거리 방정식이 된다.

ℓ = { x : u · x = c }, |u| = 1 → dist(O, ℓ) = |u · O - c|
3STEP 3

좌표를 잡고 부호를 고정하기

좌표가 그것을 두 계열로 나눈다.

|c| = 2, |d u_x - c| = 3; c = 2 → d u_x = 5 or d u_x = -1
4STEP 4

각 계열의 법선 개수 세기

각 계열은 직선을 0, 1, 2개 담는다.

u_x² + u_y² = 1 → u_y² = 1 - u_x², u_x = 5/d or u_x = -1/d
5STEP 5

개수가 바뀌는 지점 찾기

반지름의 합과 차에서 개수가 바뀐다.

|5/d| ≤ 1 ⇔ d ≥ 5 = 3 + 2, |1/d| ≤ 1 ⇔ d ≥ 1 = 3 - 2
6STEP 6

구간을 나열하고 값의 개수 세기

그러면 가능한 개수가 5가지다, 보기 (D).

k(d) = 0 & 0 ≤ d ＜ 1 ; 1 & d = 1 ; 2 & 1 ＜ d ＜ 5 ; 3 & d = 5 ; 4 & d ＞ 5
정답
5
다섯 구간은 손으로 그려 볼 수 있는 다섯 가지 그림과 정확히 대응한다. 한 원이 다른 원 안에 완전히 들어 있어 공통접선이 하나도 없는 경우, 내접해서 접점에서의 직선 하나만 있는 경우, 두 점에서 교차해 바깥쪽 접선 한 쌍만 있는 경우, 외접해서 바깥쪽 한 쌍에 접점을 지나는 직선이 더해진 경우, 완전히 떨어져서 바깥쪽 한 쌍과 그 사이를 가로지르는 한 쌍이 함께 있는 경우이다. 대수 계산은 어느 계열이 무엇인지도 알려 준다. d ＞ 3 - 2에서 살아나는 -1 계열이 바깥쪽 한 쌍이고, d ＞ 3 + 2에서 살아나는 +5 계열이 가로지르는 한 쌍이다. 경계값이 정확히 두 반지름의 차와 합에 놓이는 것은 원의 배치가 성격을 바꾸는 자리로서 예상되는 바다. 흔히 하는 빠른 설명에 한 가지 바로잡을 점이 있다. k = 0은 두 원이 동심원인 경우만이 아니다. d ＜ 1인 모든 경우가 0이므로, 진짜 조건은 한 원이 다른 원 안에 완전히 들어 있는 것이다. 다만 이 정정이 가능한 값의 개수를 바꾸지는 않는다. 값은 다섯 가지이므로 보기 (D)이다. 보기 (A) 2, (B) 3, (C) 4는 모두 구간을 빠뜨려서 나오는데, 특히 두 접하는 경계를 무시하고 0, 2, 4만 남기는 실수가 흔하다. 보기 (E) 6은 대수적으로 k의 상한이 4이므로 불가능하다.
💡핵심 정리

중요한 것은 두 중심 사이의 거리뿐이다. 그 거리가 3 - 2를 넘으면 접선 한 쌍이 켜지고 3 + 2를 넘으면 나머지 한 쌍이 켜지므로, 개수가 0, 1, 2, 3, 4로 올라간다.

  • 설정을 수 하나로 압축하기
  • 접한다는 조건을 거리 방정식으로 바꾸기
  • 좌표를 잡고 부호를 고정하기
  • 각 계열의 법선 개수 세기
  • 개수가 바뀌는 지점 찾기
  • 구간을 나열하고 값의 개수 세기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.