AMC 10 · 2015 · #20

학년 11 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

isosceles-trianglearea-trianglesherons-formulapolynomial-roots convert-to-algebrapolynomial-factoringestimation ↑ 선수 지식: isosceles-trianglearea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

두 번째 삼각형이 둘레와 넓이가 같지만 같은 삼각형은 아니다. 그 밑변에 가장 가까운 정수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

T'는 a와 b 두 개의 미지수를 가진 것처럼 보이지만, 둘레가 고정되어 둘이 묶이므로 밑변 b 하나가 삼각형을 결정한다. 넓이를 b로 쓰면 "넓이가 같다"는 조건이 미지수 하나짜리 방정식 하나가 된다. 그 방정식은 삼차식이라 부담스러워 보이지만, T 자신이 같은 집합의 원소여서 이미 그 방정식을 만족한다는 점을 알아채면 상황이 달라진다. 주어진 해를 나눠 버리면 이차식이 남는다. 마지막에 제곱근의 크기를 어림하면 어느 수에 가장 가까운지가 결정된다.

1STEP 1

주어진 삼각형 재기

주어진 삼각형의 넓이와 둘레는 쉽다.

h=√(5²-4²)=3, [T]=1/2 · 8 · 3=12, P=18

2STEP 2

미지수 두 개를 하나로 바꾸기

둘레가 미지수 둘을 하나로 바꾼다.

2a+b=18 ⟹ a=9-b/2

3STEP 3

넓이를 b만으로 쓰기

그러면 넓이가 밑변의 함수다.

h²=(9-b/2)²-b²/4=81-9b, [T']=3b/2√(9-b), 0 ＜ b ＜ 9

4STEP 4

넓이가 같다를 삼차식으로 바꾸기

넓이가 같다는 것이 삼차식 하나를 준다.

b√(9-b)=8 ⟹ b²(9-b)=64 ⟹ b³-9b²+64=0

5STEP 5

주어진 삼각형이 이미 해다

주어진 삼각형이 곧장 인수분해된다.

b³-9b²+64=(b-8)(b²-b-8)

6STEP 6

남은 이차식 풀기

남은 이차식이 새 밑변을 준다.

b²-b-8=0 ⟹ b=1±√(33)/2, b=(1+√(33))/2

7STEP 7

진짜 삼각형이 되는지 확인하기

그 삼각형은 실제로 존재한다.

b≈ 3.372, a≈ 7.314, b ＜ 2a, P=18, [T']=12, b ≠ 8

8STEP 8

3과 4 중에서 고르기

근의 범위를 잡으면 3, 보기 (A).

25 ＜ 33 ＜ 36 ⟹ 5 ＜ √(33) ＜ 6 ⟹ 3 ＜ (1+√(33))/2 ＜ 3.5

정답

얻어진 삼각형의 세 변은 약 7.314, 7.314, 3.372이다. 둘레는 만드는 방식상 2a + b = 18이고 넓이는 12.000으로 계산되어 두 가지 모두 T와 일치하지만, 모양은 확연히 다르다. T는 낮고 넓은 반면 T'는 높고 좁다. 둘 다 둘레와 넓이가 같은 정당한 삼각형이므로 문제가 주장하는 상황과 정확히 맞는다. 밑변 3.372는 3과 3.5 사이에 있으므로 선택지 (A)가 가장 가깝다. 선택지 (E) 8은 T와 T'가 합동이면 안 된다는 조건을 잊은 사람을 위한 함정으로, 8은 그저 T를 다시 말한 것일 뿐이다.

💡핵심 정리

둘레를 고정하면 밑변만 자유롭게 남고, 건네받은 삼각형이 이미 그 방정식의 해이므로 그것을 나눠 내면 나머지 하나가 손에 들어온다.

주어진 삼각형 재기
미지수 두 개를 하나로 바꾸기
넓이를 b만으로 쓰기
넓이가 같다를 삼차식으로 바꾸기
주어진 삼각형이 이미 해다
남은 이차식 풀기
진짜 삼각형이 되는지 확인하기
3과 4 중에서 고르기