AMC 10 · 2015 · #21
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
"두 초점을 지나는 모든 원"은 평면 전체를 뒤지는 이차원 탐색처럼 들리지만, 도구 #4(변수 도입하기)가 이를 접어 버립니다. 중심은 반드시 y축 위에 있어야 하므로 높이 n 하나가 전체 원 가족의 이름이 되고, r=√(n²+15)가 덤으로 따라옵니다. 도구 #1(그림 그리기)은 그림을 정직하게 유지합니다. 타원은 가로 8, 세로는 겨우 2이므로 문제가 터지는 곳은 양 끝이 아니라 위아래 꼭짓점입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 네 조각으로 나눕니다. 초점은 어디인가, 어떤 원이 자격을 갖는가, 언제 교점이 정확히 넷인가, 그 원들의 반지름은 무엇인가. 그다음 도구 #14(극단의 원리)가 네 번째 교점을 막 잃기 직전의 경계 상황을 찾아내는데, 바로 그것이 구간의 한쪽은 닫히고 다른 쪽은 열리게 만드는 이유입니다. 그림을 눈으로 보는 대신 대수로 가는 이유는 분명합니다. "정확히 넷"은 개수에 대한 주장이고, 우연히 그려 본 몇 경우가 아니라 모든 경우에 대해 이를 증명하는 것은 명시적인 이차방정식의 근의 개수뿐입니다.
두 초점의 위치 찾기
두 초점은 곧바로 찾아진다.
초점은 언제나 긴 축 위에 있고, 얼마나 바깥에 자리하는지는 두 반축의 제곱 차이가 정합니다.
11.G-GPE.A.3Draw A Diagram후보 중심을 모두 y축 위에 놓기
모든 후보 중심이 한 직선 위에 있다.
두 고정점에서 같은 거리라는 말은 그 수직이등분선 위에 있다는 뜻이고, 그러면 평면을 뒤지던 중심 찾기가 직선 하나 위를 미끄러지는 일로 줄어듭니다.
두 고정된 점에서 같은 거리에 있다는 것은, 중심이 한 점을 다른 점 위로 접는 선 위에 있다는 뜻이다.
▸ 왜?
같은 거리에 있는 그 점들이 바로 그 접는 선을 이룰 뿐, 다른 것은 없다.
▸ 왜?
두 점을 지나는 원은 둘 다 반지름만큼 떨어져 있게 하며, 그것이 바로 그 같은 거리 조건이다.
두 곡선을 y에 대한 이차식 하나로 바꾸기
곡선을 합치면 이차식 하나가 된다.
두 곡선 모두 x를 x² 형태로만 쓰므로, 하나에서 다른 하나를 빼면 x가 지워지고 만날 수 있는 높이만 남습니다.
11.A-REI.C.7Identify Subproblems두 높이를 모두 띠 안쪽으로 강제하기
교점이 넷이려면 두 높이가 모두 안에 있어야 한다.
타원은 높이가 겨우 2이므로, 교차 높이가 -1과 1 사이에 엄격히 머무를 때만 점 두 개 값을 합니다.
9.A-CED.A.1Extreme Principlen의 범위를 r의 범위로 옮기기
옮기면 양 끝의 합이 보기 (D)다.
한쪽만 닫힌 구간 위의 연속 증가 함수는 한쪽만 닫힌 구간을 쓸고 지나갑니다. 끝값 직전까지 모두 맞히지만 끝값 자체는 결코 맞히지 못합니다.
9.F-IF.B.4Extreme Principle두 곡선이 모두 x를 x² 형태로만 쓴다면 서로 빼세요. 교점들이 y에 대한 이차식 하나로 접히고, 그 근 중 몇 개가 도형의 높이 띠 안에 엄격히 머무는지 세면 교점의 개수가 정확히 나옵니다.
- 두 초점의 위치 찾기
- 후보 중심을 모두 y축 위에 놓기
- 두 곡선을 y에 대한 이차식 하나로 바꾸기
- 두 높이를 모두 띠 안쪽으로 강제하기
- n의 범위를 r의 범위로 옮기기