AMC 10 · 2015 · #4
학년 7 rate-ratio ratio-proportionlinear-equations-two-varsystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 양수의 합이 그 차의 배수다. 둘의 비를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{5}{4}$
(B)
$\frac{3}{2}$
(C)
$\frac{9}{5}$
(D)
2
(E)
$\frac{5}{2}$
풀이 과정
전략 변수 도입하기
두 수의 값 자체는 주어지지 않고 합과 차가 어떻게 비교되는지만 주어지므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 큰 수를 L, 작은 수를 S 라 이름 붙여 두 미지의 양을 담습니다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 '합은 차의 5 배'라는 문장을 하나의 식 L + S = 5(L - S)로 바꾸고, 실제 수를 몰라도 비 L/S 가 나올 때까지 정리합니다.
1STEP 1
두 수에 이름 붙이기
문자 둘이 두 수를 이름 짓는다.
L = 큰 수, S = 작은 수
각 미지수에 문자를 붙이면 수를 추측하는 대신 관계를 정확히 적을 수 있습니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
문장을 식으로 바꾸기
그 문장이 하나의 방정식이 된다.
L + S = 5(L - S)
문장의 각 구절이 식의 한 조각으로 대응되어, 말이 풀 수 있는 하나의 식이 됩니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra3STEP 3
전개하고 항 모으기
항을 모으면 단순한 비례가 남는다.
L + S = 5L - 5S → 6S = 4L
분배하고 같은 항을 모으면 식이 L 과 S 의 단순한 비교로 줄어듭니다.
괄호를 풀고 동류항을 모으면 식이 두 수를 견주는 단순한 비교로 벗겨진다.
▸ 왜?
합에 걸린 인수는 안의 모든 항에 닿는다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
▸ 왜?
양변을 같은 연산으로 정리해도 등식은 참으로 남으므로, 정리하면서 잃는 것이 없다.
양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
4STEP 4
비 읽어내기
비는 3/2, 보기 (B).
L/S = 6/4 = 3/2 → (B)
L 과 S 를 잇는 식은 사실 비를 숨기고 있어서, 정리하면 L 이 S 의 몇 배인지 알려 줍니다.
6.RP.A.1Convert To Algebra정답
3/2
실제 수로 비를 점검합니다: L = 3, S = 2이면 합은 5, 차는 1이고, 5는 정말로 1의 5 배입니다. 조건이 맞으므로 3/2가 옳습니다. 비가 1 보다 조금 큰 것도 자연스럽습니다: 차가 합에 비해 작으므로 두 수는 꽤 가깝고, 따라서 (E) 5/2 처럼 큰 비는 배제됩니다.
💡핵심 정리
두 미지수의 비교만 주어졌을 때는 문자로 이름 붙이고 그 한 문장을 식으로 쓰면 비가 떨어져 나옵니다.
- 두 수에 이름 붙이기
- 문장을 식으로 바꾸기
- 전개하고 항 모으기
- 비 읽어내기