AMC 10 · 2015 · #8
학년 8 geometry-2d pythagorean-theoremratio-proportionarea-rectangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremratio-proportion
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
직사각형 두 변의 비를 알고 대각선에 이름이 붙어 있다. 넓이가 대각선 제곱의 몇 배인지 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{2}{7}$
(B)
$\frac{3}{7}$
(C)
$\frac{12}{25}$
(D)
$\frac{16}{25}$
(E)
$\frac{3}{4}$
풀이 과정
전략 변수 도입하기
크기는 주어지지 않고 모양만 주어졌으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 변을 4x와 3x로 쓰면 하나의 미지수 x가 미지의 크기를 담으면서 4:3 모양을 고정한다. 도구 #1(그림 그리기)은 대각선이 직사각형을 직각삼각형으로 자르는 모습을 보여 주며, 이것이 변과 d를 잇는 다리다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 "넓이 = k d²"를 x에 대한 식으로 바꾸면 x가 약분되어 문제가 묻는 순수한 수 k만 남는다.
1STEP 1
변 하나의 변수로 이름 붙이기
문자 하나가 두 변을 모두 담는다.
길이=4x, 너비=3x
비는 모양은 고정하지만 크기는 고정하지 않으므로, 배율 x 하나가 그 모양의 모든 직사각형을 한꺼번에 담는다.
6.RP.A.3Introduce A Variable2STEP 2
대각선의 직각삼각형 이용하기
대각선이 직각 삼각형을 준다.
d² = (4x)² + (3x)² = 25x²
직사각형의 대각선은 항상 두 변과 직각삼각형을 이루므로, 피타고라스가 d를 곧장 x에 묶어 준다.
직사각형의 대각선은 언제나 두 변과 함께 직각삼각형을 이룬다.
▸ 왜?
그 직각삼각형에서 대각선 위의 정사각형은 두 변 위의 정사각형을 더한 것과 같다.
피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).
▸ 왜?
하나의 배율이 두 변을 함께 늘리므로, 넓이에도 대각선의 제곱에도 그 배율이 제곱으로 나타난다.
비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
3STEP 3
넓이를 쓰고 x 약분하기
문자가 상쇄되어 12/25가 남는다, 보기 (C).
넓이=12x² = 12·d²/25 = 12/25d² → k=12/25 (C)
넓이와 d²이 똑같은 x²을 품고 있어서 미지의 크기가 나눠 떨어지고 순수한 수만 남는다.
6.EE.A.2Convert To Algebra정답
12/25
구체적인 4 × 3 직사각형(x=1)으로 확인하자: 넓이는 12, 대각선은 √(16+9)=5이므로 d²=25. 그러면 넓이 /d² = 12/25로 k와 정확히 일치한다. 값도 타당하다: 직사각형은 대각선 위에 세운 정사각형의 절반보다 적게 채우므로 k는 1/2보다 작고, 따라서 더 큰 선택지 (D) 16/25와 (E) 3/4는 배제된다. 분모의 25는 3-4-5 삼각형의 지문으로 (C)를 가리킨다.
💡핵심 정리
변을 4x와 3x로 부르면 대각선에서 d² = 25x², 넓이는 12x²이 되어 넓이는 항상 d²의 12/25이다.
- 변 하나의 변수로 이름 붙이기
- 대각선의 직각삼각형 이용하기
- 넓이를 쓰고 x 약분하기