AMC 10 · 2015 · #1
학년 8 arithmetic exponentsorder-of-operationsfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: exponents
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
음수 밑이 음의 지수를 달고 뺄셈 안에 들어 있다. 그 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
-2
(B)
$\dfrac{1}{16}$
(C)
$\dfrac{7}{4}$
(D)
$\dfrac{9}{4}$
(E)
6
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
이 식은 음의 지수와 음의 밑이라는 까다로운 조각 두 개가 섞여 있으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하나씩 처리합니다 — 먼저 음의 지수를 역수로 바꾸고, 다음 밑을 제곱하고, 마지막에 뺄셈 한 번을 합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 흔한 함정을 막아 줍니다: 음의 지수가 답을 음수로 만들지 않으므로 (A)가 지워지고, -2의 짝수 거듭제곱은 양수라서 그 항은 정확히 1/4 이지 1/16이 아니므로 (B)가 지워집니다.
1STEP 1
음의 지수를 역수로 바꾸기
음의 지수는 역수를 뜻한다.
(-2)⁻² = 1/((-2)²)
음의 지수는 거듭제곱을 분수의 아래로 뒤집을 뿐, 값의 부호는 절대 바꾸지 않습니다.
음의 지수는 거듭제곱을 분모로 뒤집을 뿐, 값의 부호를 바꾸지 않는다.
▸ 왜?
지수는 인수를 몇 번 쓰는지를 세며, 음수는 그만큼 되돌린다는 뜻이다.
거듭제곱은 반복 곱셈b^n은 밑 b를 n번 곱한 것이며, 1보다 큰 밑의 거듭제곱은 값이 엄격히 커진다.
▸ 왜?
곱셈을 되돌리는 것은 나누는 것이므로, 거듭제곱이 그냥 분모로 옮겨간다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
2STEP 2
밑을 제곱하기
밑을 제곱하면 양수가 된다.
(-2)² = (-2)·(-2) = 4 → (-2)⁻² = 1/4
음수 둘을 곱하면 양수로 상쇄되므로, 0이 아닌 수의 짝수 거듭제곱은 양수입니다.
7.NS.A.2Identify Subproblems3STEP 3
뺄셈하기
빼면 7/4, 보기 (C).
2-(-2)⁻² = 2-1/4 = 8/4-1/4 = 7/4 → (C)
자연수에서 분수를 빼려면 먼저 자연수를 같은 분모로 바꿔 쓰면 됩니다.
5.NF.A.1Eliminate Possibilities정답
7/4
빼는 항 1/4은 작고 양수이므로 답은 2 바로 아래에 있어야 하고 — 7/4 = 1.75가 그렇습니다. 흔한 두 실수는 모두 틀린 선택지로 갑니다: 음의 지수를 음수로 읽으면 -2 근처(선택지 (A))가 나오고, 이미 역수 안에 있는데 2만 제곱해 1/16으로 보면 선택지 (B)가 나옵니다. 둘 다 피하면 7/4이 남습니다.
💡핵심 정리
음의 지수는 거듭제곱을 분수의 아래로 뒤집을 뿐 수를 음수로 만들지 않으므로, 지수를 먼저 처리하고 그다음 빼세요.
- 음의 지수를 역수로 바꾸기
- 밑을 제곱하기
- 뺄셈하기