AMC 10 · 2015 · #13
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
주어진 네 정보는 서로 다른 네 글자 밑에 따로따로 정리되어 있고, 그대로 두는 한 아무것도 연결되지 않는다. 40°는 D에 있고, 70°와 구하려는 길이는 A와 C 주변에 있는데, D는 AC를 품은 삼각형의 꼭짓점조차 아니다. 해결책은 자료를 다시 정리하는 것이다. 원주각은 사실 꼭짓점의 것이 아니라 두 반직선이 닿는 현의 것이다. 그렇게 다시 분류하면 ∠ ADB와 아직 이름이 없던 각 ∠ ACB가 같은 현 AB 밑에 함께 들어간다. 이것이 바로 40°를 D에서 떼어 내어, 70°와 길이 6이 이미 들어 있는 삼각형 ABC 안으로 옮겨 주는 다리다. 그다음은 삼각형이 스스로 닫힌다. 코사인법칙이나 톨레미 정리에 먼저 손을 뻗고 싶어지지만 그 길은 막힌다. 둘 다 문제가 주지 않은 길이를 필요로 하기 때문이다. 여기에 두 가지 보조 작업이 정직한 마무리를 만든다. 그림을 믿는 대신 원주각 정리의 두 번째 해석을 명시적으로 배제하는 것, 그리고 쓰이지 않은 길이 AD에 대해 경계를 확인해 네 조건이 실제로 공존할 수 있음을 확인하는 것이다.
이름에서 순서를 읽어 내기
이름이 원 둘레의 순서를 정한다.
ABCD라는 이름은 장식이 아니라 자료다. 원을 돌 때 네 점을 만나는 순서를 알려 준다.
10.G-CO.A.1Draw A Diagram각을 현 밑으로 다시 분류하기
두 각이 같은 현 위에 서 있다.
원주각은 자기가 바라보는 현만 신경 쓰므로, 현을 공유하면 각을 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 옮길 수 있다.
원주각은 어느 현을 바라보는지만 따지므로, 현을 공유하면 각이 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 옮겨진다.
▸ 왜?
원 위의 각은 맞은편 호를 재며, 같은 현은 언제나 같은 호를 잘라 낸다.
▸ 왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으며, 그래서 같은 현이 같은 호를 자른다.
삼각형을 닫고 나머지 경우 지우기
각의 합이 다른 경우를 지운다.
180°는 예산이고, 70° 옆에 놓인 140°는 이미 그 예산을 초과한다.
10.G-CO.C.10Eliminate Possibilities같은 각을 마주 보는 변과 짝짓기
같은 두 각이 삼각형을 이등변으로 만든다.
변이 긴 것은 삼각형 건너편에서 그 변을 바라보는 각이 넓기 때문이므로, 같은 두 각은 같은 두 변을 바라보고 있어야 한다.
10.G-SRT.B.5Draw A Diagram쓰이지 않은 조건이 거짓말인지 확인하기
따라서 대각선은 6이다, 보기 (C).
두 각이 이미 BC에 대한 원의 크기를 고정하므로, D가 미끄러질 수 있는 호가 통째로 남고 AD = 4는 그 위의 한 지점을 지목할 뿐이다.
10.G-C.B.5Extreme Principle원주각은 꼭짓점이 아니라 자기가 바라보는 현의 것이다. 그래서 D에 있던 40°는 사실 현 AB에 관한 정보이고 C로 옮길 수 있으며, 그 순간 삼각형 ABC는 70-70-40 삼각형이 되어 같은 두 각이 같은 두 변을 바라본다.
- 이름에서 순서를 읽어 내기
- 각을 현 밑으로 다시 분류하기
- 삼각형을 닫고 나머지 경우 지우기
- 같은 각을 마주 보는 변과 짝짓기
- 쓰이지 않은 조건이 거짓말인지 확인하기