AMC 10 · 2015 · #17
학년 11 probability답을 골라 클릭하세요.
"앞면 두 번이 앞면 세 번만큼 잘 나온다"는 문장은 그대로 식이 되기를 기다리는 문장이다. 두 확률을 각각 (경우의 수) 곱하기 (하나의 무게) 꼴로 쓰고 등식으로 놓자. 양변은 똑같이 1/4과 3/4의 거듭제곱으로 만들어져 있어 거의 다 약분되고, 공통인수를 걷어내면 확률 등식이 C(n, 2)와 C(n, 3)에 대한 정수 등식으로 바뀐다. 다만 약분 하나는 공짜가 아니다. 양변을 C(n, 2)로 나누는 것은 C(n, 2)가 0이 아닐 때만 허용되는데, 이것이 0이 되는 경우는 정확히 n 이 0 또는 1 일 때다. 바로 조건 n ＞ 1이 지우는 경우다. 한 번만 던지면 앞면 두 번도 세 번도 불가능해서 두 확률이 시시하게 같아지기 때문이다. 그러므로 그 경계를 먼저 확인하고, 계승을 전개하는 대신 짧은 이중 세기로 C(n, 3)과 C(n, 2)를 비교하고, 나오는 일차방정식을 풀고, 마지막에 그 값이 실제로 성립함과 다른 n 은 불가능함을 확인한다.
두 확률을 식으로 쓰기
두 확률이 거의 모든 인수를 공유한다.
앞면 개수가 같은 순서들은 모두 같은 무게를 가지므로, 여기서 확률은 경우의 수에 수 하나를 곱한 것일 뿐이다.
11.S-CP.B.9Convert To Algebra공통 무게 걷어내기
그것을 걷어내면 개수의 비가 남는다.
뒷면 하나를 앞면 하나로 바꾸면 무게에서 3 배를 손해 보므로, 앞면 세 번 배열이 두 번 배열보다 정확히 3 배 많아야 한다.
8.EE.A.1Organize Information In More Ways조건이 막아 놓은 경계 확인
주어진 조건이 무너진 경우를 막는다.
식이 아무 의미 없이 성립하는 유일한 경우가, 바로 약분하면 0으로 나누게 되는 경우다.
6.EE.B.5Extreme Principle이중 세기로 두 경우의 수 비교
개수 비교는 단순한 항등식이다.
3 개짜리 집합은 2 개짜리 집합에 원소 하나를 더한 것이고, 그런 방식으로 각 3 개짜리 집합은 세 번씩 만들어진다.
세 원소의 모임은 두 원소의 모임에 하나를 더한 것이며, 각 세 원소 모임은 그렇게 세 번씩 만들어진다.
▸ 왜?
마지막에 더할 수 있었던 원소마다 한 번씩 세면, 그 모임을 원소 수만큼 세게 된다.
▸ 왜?
작은 모임을 고르는 일과 남은 원소를 고르는 일은 따로이므로, 그 개수가 곱해진다.
n 을 구하고 유일함까지 밝히기
풀면 11번이다.
공통된 경우의 수가 나눠 떨어지고 나면 교차점이 하나뿐인 직선 방정식만 남는다.
9.A-REI.B.3Convert To Algebra성립을 확인하고 나머지 보기 지우기
그 비가 나머지 보기를 모두 지운다, (D).
두 확률의 비는 n 이 커질수록 꾸준히 올라가므로 1을 지나는 지점은 딱 한 곳뿐이다.
7.SP.C.7Eliminate Possibilities두 확률이 같다고 하면 빼지 말고 나눠 보라. 공통된 무게가 사라지고 n 에 대한 작은 식 하나만 남는다. 단, 나누는 그것이 0이 아닌지 먼저 확인해야 한다.
- 두 확률을 식으로 쓰기
- 공통 무게 걷어내기
- 조건이 막아 놓은 경계 확인
- 이중 세기로 두 경우의 수 비교
- n 을 구하고 유일함까지 밝히기
- 성립을 확인하고 나머지 보기 지우기
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