AMC 10 · 2015 · #24
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
그림(도구 #1)을 그리면 핵심이 보인다. 모든 중심이 P와 Q에서 같은 거리에 있으므로 네 중심과 R가 한 직선 위에 놓인다. 그러면 중심마다 부호가 있는 좌표 하나만으로 위치와 반지름을 동시에 담을 수 있고(도구 #4, 변수 도입하기), 한 쌍에 대한 두 조건이 이차식 하나로 압축된다. 이제 문제는 두 가지 일로 갈라진다(도구 #7). 먼저 조건이 허용하는 쌍의 모양을 모두 나열하고(도구 #2, 이때 이차식의 차수가 그 목록이 완전함을 증명한다), 다음으로 "어느 두 원도 합동이 아니다"를 써서 허용되지 않는 짝짓기를 지운다(도구 #3). 두 번째 일이 진짜 알맹이다. 그것이 없으면 어떤 값이 가능하다는 것만 알 뿐, 그 값으로 확정된다는 것은 알 수 없다.
모든 중심을 한 직선에 가두기
모든 중심이 한 직선 위에 있다.
두 정점에서 같은 거리라는 조건은 점을 직선 하나에 묶어 버리므로, 미지의 중심 네 개가 축 하나로 모인다.
두 고정된 점에서 같은 거리에 있다는 것은 중심이 하나의 직선 위에 놓인다는 뜻이다.
▸ 왜?
같은 거리에 있는 그 점들이 바로 한 점을 다른 점 위로 접는 선을 이룬다.
▸ 왜?
두 점을 지나는 원은 각각을 반지름만큼 떨어뜨리며, 그것이 그 같은 거리 조건이다.
중심마다 좌표 하나
좌표 하나가 각 원을 설명한다.
남은 자유는 중심을 축 위에서 미는 것뿐이고, 피타고라스가 그 숫자 하나를 곧바로 반지름으로 바꿔 준다.
8.G.B.7Introduce A Variable쌍이 만족하는 식 세우기
쌍의 조건이 두 방정식이 된다.
비를 제곱하면 근호가 사라지므로 도형 조건이 깔끔한 다항식 두 개로 바뀐다.
9.A-CED.A.2Introduce A Variable이차식 하나로 줄이기
소거하면 이차식 하나가 남는다.
축의 방향을 고정하는 데는 아무 대가가 없지만, 미지수는 둘에서 하나로 준다.
9.A-REI.B.4Introduce A Variable가능한 두 모양 나열하기
그것이 정확히 두 가지 쌍 모양을 준다.
음의 근은 버릴 찌꺼기가 아니라, 두 중심이 현을 사이에 두고 마주 보는 그림이다.
8.G.B.7Make A Systematic List목록이 완전함을 증명하기
차수가 그 목록이 완전함을 증명한다.
근의 개수를 세는 것이 빠뜨린 경우가 없다고 보증하는 방법이다.
9.A-REI.B.4Make A Systematic List합동 금지가 짝을 강제한다
크기가 달라 각 모양이 하나씩이어야 한다.
"어느 둘도 같지 않다"는 장식이 아니라, 마지막 자유를 없애고 답을 못박는 조건이다.
10.G-GPE.B.4Eliminate Possibilities네 거리 더하기
넷을 더하면 192, 보기 (D).
두 모양이 서로 독립적인 덩어리를 내놓으므로, 전체는 그냥 둘의 합이다.
3.NBT.A.2Identify Subproblems모든 중심은 공통현의 중점을 지나는 한 직선 위에 있으므로 원마다 숫자 하나면 그림이 이차식 하나가 된다. 그 두 근이 가능한 모양의 전부이고, "어느 두 원도 같지 않다"가 각 모양을 하나씩 쓰도록 강제한다.
- 모든 중심을 한 직선에 가두기
- 중심마다 좌표 하나
- 쌍이 만족하는 식 세우기
- 이차식 하나로 줄이기
- 가능한 두 모양 나열하기
- 목록이 완전함을 증명하기
- 합동 금지가 짝을 강제한다
- 네 거리 더하기