AMC 10 · 2015 · #9

학년 11 probability

유형 Geometric Series Share └ 세부 유형 Cyclic Participant Share

probability-basicgeometric-series-infiniteindependent-events systematic-enumerationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basicgeometric-series-infinite

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 사람이 번갈아 시도하고 먼저 성공한 쪽이 이긴다. 먼저 시도하는 사람의 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{2}$

(B)

$\dfrac{3}{5}$

(C)

$\dfrac{2}{3}$

(D)

$\dfrac{3}{4}$

(E)

$\dfrac{4}{5}$

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

경기가 얼마나 길어질지에 상한이 없으므로 던지기 하나하나를 끝까지 나열할 수는 없다. 대신 모든 결과를 '몇 번째 던지기에서 경기가 끝나는가' 라는 수 하나로 분류한다. 이 경우들은 서로 겹치지 않고, Larry 의 경우는 정확히 홀수 번째이며, 확률이 깔끔한 패턴을 이루므로 나열이 경기 전체를 덧셈 문제로 바꿔 준다. 끝없는 경우 목록만으로 할 수 없는 단 한 가지는 '빠뜨린 것이 없다' 는 보장이므로, 한 번에 유한 개만 더하고 아직 계산에 넣지 않은 부분의 크기를 따로 재겠다. 그 남은 부분이 0으로 줄어들면 지금까지의 합이 정확한 답일 수밖에 없다.

1STEP 1

경기를 끝내는 던지기에 이름 붙이기

성공한 시도의 번호가 승자를 정한다.

Larry: 1, 3, 5, … Julius: 2, 4, 6, … Larry 승 ⇔ N 이 홀수

2STEP 2

n 번째에서 끝날 확률

정해진 시도에서 끝날 확률은 단순하다.

P(N = n) = 1/2 · 1/2 … 1/2_n-1 번 실패 · 1/2 = (1/2)ⁿ

3STEP 3

Larry 의 경우를 나열해 더하기

먼저 하는 사람의 경우는 홀수번째다.

S_m = P(N=1) + P(N=3) + … + P(N=2m-1) = 1/2 + 1/8 + 1/32 + … + (1/2)²m-1

4STEP 4

처음 m 개를 정확히 더하기

유한한 구간은 정확히 더해진다.

S_m = (1/2(1 - (1/4)^m))/(1 - 1/4) = 2/3(1 - 1/4^m)

5STEP 5

빠진 부분의 크기 재기

빠진 부분은 0으로 줄어든다.

P(처음 2m 번 모두 실패) = (1/2)²m = 1/4^m → S_m ≤ P(Larry 승) ≤ S_m + 1/4^m

6STEP 6

조여서 정확한 값 얻기

조이면 2/3, 보기 (E).

2/3(1 - 1/4^m) ≤ P(Larry 승) ≤ 2/3(1 - 1/4^m) + 1/4^m (모든 m) → P(Larry 승) = 2/3

정답

2/3

Larry 가 먼저 던지므로 그의 확률은 1/2 보다 커야 하고 — 그래서 (A)는 탈락 — Julius 도 Larry 의 처음 두 번이 빗나가고 자신의 첫 번째가 성공하면 이기므로(확률 1/8) 1 보다는 작아야 한다. 2/3은 그 사이에 있다. 더 강한 확인: 성공 확률을 1/2 대신 p 로 두고 같은 계산을 하면 p/(1-(1-p)²) = 1/(2-p)가 된다. 이 식은 마땅히 그래야 할 대로 움직인다. p 가 아주 작으면 1/2에 가깝고(거의 끝나지 않는 경기는 거의 공평하다), p = 1이면 1이다(Larry 가 곧바로 끝낸다). 그리고 p = 1/2 에서 1/(2-1/2) = 2/3로 보기 (C)와 일치한다. 또한 3/4과 4/5는 각각 p = 2/3, p = 3/4 일 때의 값이므로 다른 질문에 대한 답이다.

💡핵심 정리

모든 결과를 '몇 번째 던지기에서 끝나는가' 로 분류해 Larry 의 홀수 번째 경우를 더하고, 아직 더하지 않은 부분이 0으로 줄어드는지 확인하면 된다.

경기를 끝내는 던지기에 이름 붙이기
n 번째에서 끝날 확률
Larry 의 경우를 나열해 더하기
처음 m 개를 정확히 더하기
빠진 부분의 크기 재기
조여서 정확한 값 얻기