AMC 10 · 2016 · #12
학년 10 geometry-2d
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이 문제는 정리 하나로 끝나는데, 그 정리를 두 번 쓴다. 각의 이등분선 정리는 한 꼭짓점에서 그은 이등분선이 맞은편 변을 자를 때 두 조각의 비가 그 꼭짓점에서 만나는 두 변의 비와 같다고 말한다. 그래서 문제는 같은 작은 문제 두 개로 쪼개진다. 먼저 삼각형 ABC에서 A의 이등분선을 써서 D가 BC 위 어디에 있는지 알아낸다. 그다음 그림을 다시 읽어서 AD를 작은 삼각형 ABD의 한 변으로, BF를 그 삼각형에서 B의 이등분선으로 본다. 두 번째로 정리를 쓰면 AF : FD가 바로 나온다. E에 관한 것이나 AD의 길이는 전혀 필요 없다.
A의 이등분선으로 BC 나누기
첫 이등분선이 한 변을 비로 나눈다.
이등분선은 짧은 변 쪽으로 기우는데, 그 기우는 정도가 정확히 양옆 두 변의 비이다.
이등분선은 자기 양쪽 두 변의 비만큼 정확히 짧은 변 쪽으로 기운다.
▸ 왜?
두 조각은 한 직선 위 같은 꼭짓점 아래에 있으므로, 넓이가 밑변의 비를 이룬다.
▸ 왜?
이등분선은 양쪽에 같은 각을 만들므로, 두 삼각형은 한 모양을 키우고 줄인 복사본이다.
비를 실제 길이로 바꾸기
둘레가 그것을 실제 길이로 바꾼다.
공통 배율 k에 이름을 붙이면 비와 합이 일차방정식 하나로 바뀐다.
8.EE.C.7Convert To AlgebraAD를 체바선 말고 변으로 보기
체바선이 더 작은 삼각형의 변으로 다시 읽힌다.
같은 그림 안에, 구하려는 비가 '이등분선에 잘리는 한 변'으로 보이는 더 작은 삼각형이 숨어 있다.
10.G-CO.A.1Organize Information In More Ways같은 정리를 한 번 더 쓰기
같은 정리를 두 번째로 쓴다.
긴 변 AB 쪽에 붙은 AD의 조각이 짧은 변 BD 쪽 조각의 두 배가 된다.
10.G-SRT.B.5Identify Subproblems내접원으로 확인하고 고르기
넓이로 확인하면 2 대 1이다, 보기 (D).
꼭짓점을 공유하고 밑변이 한 직선 위에 있는 두 삼각형은 넓이의 비가 밑변의 비와 같으므로, 넓이 논증에서도 같은 비가 나온다.
10.G-C.A.3Eliminate Possibilities각의 이등분선은 맞은편 변을 양옆 두 변의 비로 자르므로, 먼저 BD를 구한 다음 작은 삼각형 ABD 안에서 똑같은 규칙을 한 번 더 쓰면 된다.
- A의 이등분선으로 BC 나누기
- 비를 실제 길이로 바꾸기
- AD를 체바선 말고 변으로 보기
- 같은 정리를 한 번 더 쓰기
- 내접원으로 확인하고 고르기
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