AMC 10 · 2016 · #15
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
이 문제는 직선 위쪽에 놓인 세 중심의 위치에 관한 것이므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다. l을 x축에 두면 각 중심은 자신의 접점 바로 위, 반지름과 같은 높이에 놓인다. 도구 #4(변수 도입하기)로 중심들의 미지의 가로 위치에 이름을 붙이는데, 외접 조건이 각 중심 사이 거리를 알려진 수로 바꾸고, 직각삼각형(피타고라스 정리)이 그 거리를 가로 간격으로 바꿔 준다. 세 중심의 좌표가 모두 정해지면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 중심들을 직선에 내려 사다리꼴 넓이를 빼는 방식으로 복잡한 공식 없이 삼각형 넓이를 깔끔하게 구한다.
좌표 틀 세우기
각 중심의 높이는 자기 반지름이다.
직선 위에 놓인 원은 자신이 닿는 점 바로 위, 반지름 한 칸 높이에 균형을 잡는다.
6.G.A.3Draw A Diagram접함을 거리로 바꾸기
접함이 두 중심 거리를 준다.
두 원이 바깥에서 살짝 닿으면 중심을 잇는 직선이 접점을 지나므로 그 길이는 반지름의 합이다.
두 원이 바깥에서 겨우 맞닿으면, 중심을 잇는 곧은 길이 두 반지름을 더한 것이 된다.
▸ 왜?
닿는 점은 중심을 잇는 직선 위에 있으므로, 그 직선은 두 반지름을 이어 붙인 것이다.
▸ 왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으므로, 등장하는 길이는 그 두 반지름뿐이다.
가로 간격 구하기
가로 간격이 피타고라스로 따라 나온다.
기울어진 중심 거리와 높이 차를 알면 남은 평평한 거리는 피타고라스 정리로 바로 튀어나온다.
8.G.B.7Introduce A Variable세 중심의 좌표 적기
그것이 세 중심을 모두 배치한다.
접점 하나를 영점에 고정하면 두 간격이 나머지 중심들을 제자리로 밀어 넣는다.
6.NS.C.8Draw A Diagram사다리꼴을 빼서 넓이 구하기
사다리꼴을 빼면 보기 (D)다.
삼각형은 넓은 사다리꼴에서 좁은 사다리꼴 둘을 파낸 것일 뿐이다.
6.G.A.1Identify Subproblems각 원의 중심을 접점 바로 위 반지름 높이에 세우고, 가로 간격은 피타고라스 정리로 구한 다음, 삼각형을 사다리꼴에서 파내면 √(6)-√(2)가 나온다.
- 좌표 틀 세우기
- 접함을 거리로 바꾸기
- 가로 간격 구하기
- 세 중심의 좌표 적기
- 사다리꼴을 빼서 넓이 구하기