AMC 10 · 2016 · #16

학년 11 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

logarithm-propertiesdomain-restrictionquadratic-equationscombinations-basic systematic-enumerationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesquadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

네 로그 곡선을 한 좌표평면에 함께 그린다. 둘 이상에 놓인 점의 수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

밑과 진수의 배치가 제각각인 네 로그는 서로 무관한 네 곡선처럼 보이지만, 밑변환을 하면 모두 하나의 수로 만들어진다는 것이 드러난다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 수에 t=log₃ x라는 이름을 붙이면 네 곡선은 t, 1/t, -t, -1/t로 줄어든다. 네 개의 로그를 교차시키는 것보다 두 직선과 두 쌍곡선을 교차시키는 편이 훨씬 쉬우므로 이는 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)이기도 하다. 이어서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 C(4, 2)=6가지 짝을 모두 훑어 빠뜨리거나 중복해서 세는 일이 없게 하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 실수 해가 없는 짝을 걸러낸다. 마지막으로 도구 #15(다르게 정리하기)로 살아남은 해들을 x값 기준으로 다시 묶으면 다섯 점이 정말로 서로 다르다는 것이 한눈에 보인다.

1STEP 1

네 곡선과 정의역 나열하기

각 곡선이 자기 허용 입력을 갖는다.

y=log₃ x, y=log₁/3 x: x ＞ 0; y=log_x 3, y=log_x 1/3: x ＞ 0, x ≠ 1

2STEP 2

log₃ x에 t라는 이름 붙이기

이름 하나가 넷 모두를 단순하게 만든다.

t=log₃ x: y=t, y=1/t, y=-t, y=-1/t

3STEP 3

이름 바꾸기로 잃는 것이 없는지 확인하기

이름 바꾸기로 잃는 것이 없다.

x ＞ 0⇔ tinR, x=3^t; x ≠ 1⇔ t ≠ 0

4STEP 4

여섯 가지 짝의 방정식 모두 쓰기

확인할 짝은 여섯이다.

t=1/t, t=-t, t=-1/t, 1/t=-t, 1/t=-1/t, -t=-1/t

5STEP 5

풀고 불가능한 것 지우기

어떤 짝은 실수해가 없다.

t²=1→ t=± 1; 2t=0→ t=0; t²=-1: 실수 해 없음; 2/t=0: 해 없음

6STEP 6

되돌려서 세기

되돌리면 점이 5개다, 보기 (D).

(3,1), (3,-1), (1/3,-1), (1/3,1), (1,0) → 5 → (D)

정답

이름을 바꾸지 않고 값을 직접 대입해도 다섯 점이 확인된다. x=3에서 네 높이는 log₃ 3=1, log₃ 3=1, log₁/3 3=-1, log₃ 1/3=-1이므로 점 (3,1)과 (3,-1)이 나온다. x=1/3에서는 -1, -1, 1, 1이므로 (1/3,-1)과 (1/3,1)이 나온다. x=1에서는 곡선 1과 3이 모두 0이고 곡선 2와 4는 정의되지 않으므로 (1,0)이 나온다. 모두 5개로 선택지 (D)와 맞는다. 빠뜨린 것도 없다: x ＞ 0, x ≠ 1인 임의의 x에 대해 u=log₃ x ≠ 0이라 두면 네 높이는 u, 1/u, -u, -1/u인데, 이 중 둘이 같아지려면 u=1/u, 즉 u=± 1, 즉 x=3 또는 x=1/3이어야 한다. 나머지 경우는 u=-u이거나 u²=-1이어야 하는데 0이 아닌 실수 u에서는 둘 다 불가능하다. 따라서 5가 정확하며, 선택지 (E) 6은 존재하지 않음이 증명된 교점을 하나 더 요구한다.

💡핵심 정리

log₃ x에 t라는 짧은 이름을 붙이면 네 그래프는 t, 1/t, -t, -1/t이 되고, 여섯 짝을 모두 확인하면 정확히 5개의 점에서 만난다.

네 곡선과 정의역 나열하기
log₃ x에 t라는 이름 붙이기
이름 바꾸기로 잃는 것이 없는지 확인하기
여섯 가지 짝의 방정식 모두 쓰기
풀고 불가능한 것 지우기
되돌려서 세기