AMC 10 · 2016 · #17
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
"정삼각형의 중심"은 수가 아니라 위치이므로, 좌표축을 함께 그리는 도구 #1(그림 그리기)이 계산 가능하게 만드는 결정적 한 수다. 정사각형을 좌표평면에 올리면 각 중심이 순서쌍으로 바뀐다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 한 변의 길이를 1로 고정하는데, 묻는 것이 비이고 그림 전체를 확대하면 두 넓이가 같은 비율로 커지므로 이는 공짜로 얻는 단순화다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 서로 독립인 세 가지 작은 질문으로 나눈다 — 정삼각형의 높이는 얼마인가, 중심은 그 안 어디에 있는가, 대각선으로부터 정사각형 넓이를 어떻게 얻는가. 도구 #17(공간 상상하기)은 정사각형 중심에 대한 90° 회전이 그림 전체를 자기 자신으로 옮긴다는 사실을 제공하며, 이것이 EFGH가 정사각형임을 증명하는 동시에 그 중심까지 알려 준다. 도구 #4(변수 도입하기)로 대각선의 절반을 R로 이름 붙이면 최종 넓이가 한 줄 식이 되고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 마지막에 다섯 선택지의 소수값과 대조한다.
한 변의 길이를 1로 고정하기
비이므로 변을 1로 고정할 수 있다.
비는 그림의 크기를 따지지 않으므로 계산이 가장 편한 크기를 고르면 된다.
7.G.A.1Solve An Easier Related Problem정사각형을 좌표에 올리기
격자가 모든 꼭짓점을 배치한다.
좌표는 "정사각형 바깥쪽"이라는 말을 중점에 더할 수 있는 방향으로 바꿔 준다.
6.G.A.3Draw A Diagram정삼각형의 높이 구하기
삼각형의 높이가 곧바로 나온다.
정삼각형을 가운데로 자르면 직각삼각형이 남고, 빠진 한 변은 피타고라스가 돌려준다.
8.G.B.7Identify Subproblems중심 E의 위치 찾기
그것이 중심 하나를 찾아 준다.
중심은 무게가 균형을 이루는 점이라서, 어느 변을 밑변으로 보든 그 변에서 높이의 1/3 지점에 걸려 있다.
10.G-CO.C.10Identify Subproblems그림을 90도 돌려 보기
사분의 일 회전이 나머지 셋을 준다.
네 변에 똑같은 방식으로 지은 구조라서 90° 회전은 차이를 알아채지 못하고, 그 대칭성이 EFGH를 정사각형이게 만든다.
그 작도는 네 변 모두에 같은 방식으로 세워지므로, 4분의 1 회전으로는 차이를 알아볼 수 없다.
▸ 왜?
그 회전은 도형을 늘리지 않고 자기 위로 옮기므로, 모든 길이가 그대로 되풀이된다.
▸ 왜?
4분의 1 회전 넷이 중심 둘레의 한 바퀴를 채우므로, 네 변이 모든 것을 설명한다.
대각선의 절반으로 넓이 구하기
대각선의 절반이 넓이를 준다.
정사각형은 중심에서 꼭짓점까지의 거리 하나로 완전히 결정된다.
10.G-GPE.B.7Introduce A Variable다른 길로 검산하고 비 구하기
변으로 확인해도 보기 (B)다.
대각선으로 한 번, 변으로 한 번 — 같은 넓이에 두 길로 도달하는 것이 계산 실수를 잡는 가장 싼 방법이다.
10.G-GPE.B.4Eliminate Possibilities정삼각형의 중심은 밑변에서 높이의 1/3 지점에 있으므로, EFGH의 각 꼭짓점은 한 변이 1인 정사각형의 변보다 √(3)/6만큼 바깥으로 튀어나온다. 이 하나만으로 넓이의 비가 (2+√(3))/3으로 정해진다.
- 한 변의 길이를 1로 고정하기
- 정사각형을 좌표에 올리기
- 정삼각형의 높이 구하기
- 중심 E의 위치 찾기
- 그림을 90도 돌려 보기
- 대각선의 절반으로 넓이 구하기
- 다른 길로 검산하고 비 구하기