AMC 10 · 2016 · #20
학년 8 algebra function-evaluationfraction-arithmeticgcd logical-deductionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: function-evaluation
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
알 수 없는 연산이 두 규칙을 따르고 한 방정식이 그것을 두 번 쓴다. 해의 성분을 답하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
109
(B)
201
(C)
301
(D)
3049
(E)
33,601
풀이 과정
전략 변수 도입하기
연산이 무엇인지 직접 알려주지 않으므로, 결과 a◆ b 를 미지의 식으로 두고 두 규칙에 영리한 값을 대입해 그 식을 강제로 드러낸다. 같은 값을 대입하면 규칙 2가 규칙 1을 단순화시켜 연산이 보통의 나눗셈임을 확정한다. 그 뒤에는 대입하고 정리해 일차방정식을 푸는 평범한 과정이다.
1STEP 1
두 인수를 같게 만들기
두 인수를 같게 하면 첫 규칙이 단순해진다.
a◆(b◆ b)=(a◆ b) · b → a◆ 1=(a◆ b) · b
같은 값을 넣으면 규칙 2가 복잡한 안쪽 항을 지워 더 단순한 관계를 드러낸다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
a ◇ 1 확정하기
그것이 특별한 값 하나를 정한다.
a◆ 1=(a◆ a) · a=1 · a=a
두 번째 영리한 대입이 미지의 것을 우리가 아는 수로 바꾼다.
6.EE.A.2Introduce A Variable3STEP 3
연산 정체 밝히기
그러면 연산의 정체가 보인다.
(a◆ b) · b=a → a◆ b=a/b
어떤 양에 b 를 곱해 a 가 되면, 그 양은 a 를 b 로 나눈 값일 수밖에 없다.
어떤 양에 한 수를 곱해 다른 수가 된다면, 그 양은 나중 수를 앞선 수로 나눈 것이어야 한다.
▸ 왜?
나눗셈이 곱셈을 정확히 되돌리므로, 미지의 인수가 한 번에 되살아난다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
같은 연산을 가리키는 두 식은 같은 규칙을 가리키므로, 그 확인이 온전하다.
같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.
4STEP 4
나눗셈이 두 규칙을 만족하는지 확인
그것이 실제로 두 규칙을 모두 만족한다.
a÷b/c=ac/b=a/b · c
후보 규칙은 만족해야 할 모든 조건을 통과해야 비로소 안전하다.
6.EE.A.2Guess And Check5STEP 5
식에 대입하기
대입하면 일차방정식이 남는다.
2016◆(6/x)=2016·x/6=336x=100
분수로 나누면 뒤집어 곱하므로 x 가 분자로 올라오고 식이 일차식이 된다.
6.NS.A.1Introduce A Variable6STEP 6
풀고 약분하기
약분하면 109, 보기 (A).
x=100/336=25/84, p+q=25+84=109
x 를 분리한 뒤 공약수를 없애야 p 와 q 가 진짜 서로소가 된다.
8.EE.C.7Work Backwards정답
109
나눗셈으로 앞에서부터 다시 확인한다: 6◆25/84=6÷25/84=504/25, 이어서 2016÷504/25=2016·25/504=4·25=100으로 목표값과 정확히 일치한다. 기약분수 25/84는 0과 1 사이의 타당한 0이 아닌 실수이고, p+q=109는 선택지 (A)와 맞는다.
💡핵심 정리
연산이 규칙으로만 정의되어 있으면, 같은 값을 넣어 규칙을 무너뜨려서 그 아래 숨은 익숙한 연산을 알아내라.
- 두 인수를 같게 만들기
- a ◇ 1 확정하기
- 연산 정체 밝히기
- 나눗셈이 두 규칙을 만족하는지 확인
- 식에 대입하기
- 풀고 약분하기