AMC 10 · 2016 · #21
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
길이가 같은 이웃한 세 현이 있으면 도형은 거울 대칭이 된다: 도구 #17(공간 상상하기)로, 중심과 같은 변들의 가운데를 지나는 선에 대해 반사하면 양 끝 꼭짓점이 서로 바뀌어 깔끔한 대칭축이 생긴다는 것을 알아챈다. 그러면 도구 #4(변수 도입하기)가 자연스러운 도구가 된다 — 중심을 원점에, 대칭선을 y축으로 두면 모든 꼭짓점이 원의 방정식 x²+y²=R²으로 정할 수 있는 좌표가 된다. 도구 #1(그림 그리기)로 어느 꼭짓점이 이웃인지 고정해 어느 현이 200이어야 하는지 분명히 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 쉬운 단계로 나눈다: 같은 변에서 위쪽 두 꼭짓점을 찾고, 아래쪽 한 꼭짓점을 찾은 뒤, 대칭으로 네 번째 변을 읽어낸다.
대칭 좌표 틀 세우기
대칭 덕분에 좌표 틀을 깔끔히 고를 수 있다.
이웃한 변들이 같으면 그림이 거울 속에서 똑같아 보이므로, 중심을 지나는 대칭축이 좌표를 두기 가장 값싼 자리이다.
6.G.A.3Draw A Diagram위쪽 두 꼭짓점 놓기
원이 위쪽 두 꼭짓점을 배치한다.
현과 그 절반, 그리고 중심에서 내린 수선은 항상 직각삼각형을 이루므로, 피타고라스 정리가 높이를 곧바로 준다.
현과 그 절반, 그리고 중심에서 내린 수선은 언제나 직각삼각형을 이룬다.
▸ 왜?
중심은 현의 두 끝에서 같은 거리에 있으므로, 그 수선이 정확히 한가운데에 닿는다.
▸ 왜?
그 직각 덕분에 반지름과 현의 절반과 그 거리가 하나의 식으로 묶인다.
A의 두 조건을 쓰고 줄이기
마지막 꼭짓점에는 조건이 둘이다.
거리 방정식에서 원의 방정식을 빼면 제곱항이 사라지고, A가 놓여야 할 깔끔한 직선 하나만 남는다.
8.G.B.8Identify SubproblemsA의 좌표 구하기
그것을 합치면 이차식 하나가 남는다.
직선을 원에 넣으면 미지수 하나짜리 방정식만 남고, 모든 제곱근이 √(7)의 배수라서 근호 계산이 깔끔하게 유지된다.
8.EE.A.2Introduce A Variable네 번째 변 읽어내기
폭을 읽으면 500, 보기 (E).
두 끝점이 모두 격자 위의 점이 되면 변의 길이는 두 점 사이의 거리일 뿐이고, 여기서는 단순한 수평 거리이다.
8.G.B.8Introduce A Variable세 변이 같으면 도형이 거울 대칭이므로, 중심을 원점에 두고 격자에 올린 뒤 원의 방정식으로 각 꼭짓점을 찾으면, 긴 네 번째 변은 아래쪽을 가로지르는 거리일 뿐 — 500이다.
- 대칭 좌표 틀 세우기
- 위쪽 두 꼭짓점 놓기
- A의 두 조건을 쓰고 줄이기
- A의 좌표 구하기
- 네 번째 변 읽어내기
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