AMC 10 · 2016 · #4
학년 6 arithmetic mean-median-mode-range convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
목록의 평균, 중앙값, 최빈값이 모두 같은 미지수다. 그것을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
50
(B)
60
(C)
75
(D)
90
(E)
100
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기
평균 조건이 가장 강력하다. 평균 조건은 x 를 정확히 하나로 정해주는 단 하나의 방정식이기 때문이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "평균이 x 와 같다"는 문장을 방정식 (540+x)/7 = x 로 바꾸면 한 번에 풀린다. 그런 다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 일곱 수를 정렬하고 도구 #3(가능성 지우기)로 같은 x 가 중앙값·최빈값 조건도 만족함을 확인하여, 답이 우연이 아니라 일관됨을 확인한다.
1STEP 1
알려진 여섯 수 더하기
아는 값의 합은 540이다.
60+100+40+50+200+90 = 540
이미 아는 값들을 하나의 수로 묶어서 미지수만 따로 남게 한다.
4.NBT.B.4Convert To Algebra2STEP 2
"평균이 x"를 방정식으로 바꾸기
평균이 깔끔한 방정식 하나를 준다.
(540+x)/7 = x → 540+x = 7x → 540 = 6x → x = 90
"평균이 x"라는 말은 곧 전체 합이 x 의 7 배여야 한다는 균형이다.
평균이 어떤 값과 같다는 것은 총합이 그 값을 개수만큼 모은 것이라는 뜻이다.
▸ 왜?
평균은 총합을 개수로 나눈 것이므로, 다시 개수를 곱하면 총합이 돌아온다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
▸ 왜?
그 총합은 늘어놓은 수를 더한 것이므로, 모르는 수는 남은 몫이다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
정렬해서 중앙값 확인하기
정렬하면 가운데 값이 확인된다.
40, 50, 60, 90, 90, 100, 200 → 중앙값 = 90
수들을 크기순으로 늘어놓으면 한가운데 있는 것이 중앙값이다.
6.SP.B.5Make A Systematic List4STEP 4
최빈값 확인하고 답 읽기
반복 확인이 90을 준다, 보기 (D).
최빈값 = 90 = 중앙값 = 평균 → x = 90 → (D)
가장 자주 나오는 수가 최빈값이다. 여기서는 90이 두 번 나오고 다른 값은 반복되지 않는다.
6.SP.B.5Eliminate Possibilities정답
90
세 가지 측도가 모두 90으로 떨어지며, 이는 문제의 요구와 정확히 일치하고 90은 선택지 (D)에 있다. 평균을 빠르게 점검하면, 잠시 x 를 빼고 나머지 여섯 수의 평균을 구해도 540/6 = 90이다. 어떤 집합의 평균이 이미 그 집합 안에 있을 때 같은 값을 한 번 더 넣어도 평균은 변하지 않으므로, 일곱 값 전체의 평균도 90으로 x 와 일치한다. 또한 90은 자료의 한가운데에 자연스럽게 놓이는데, 이는 중앙값과 평균이 마땅히 가져야 할 위치이다.
💡핵심 정리
평균이 어떤 미지수와 같다고 하면, 전체 합을 그 미지수의 개수만큼의 복사본과 같다고 두어라. 그런 다음 목록을 정렬해 중앙값과 최빈값을 다시 확인하라.
- 알려진 여섯 수 더하기
- "평균이 x"를 방정식으로 바꾸기
- 정렬해서 중앙값 확인하기
- 최빈값 확인하고 답 읽기