AMC 10 · 2016 · #7

학년 9 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area
polynomial-factoringdifference-of-squareszero-product-propertyslope-intercept polynomial-factoringcasework ↑ 선수 지식: difference-of-squareszero-product-property
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
방정식의 그래프는 그것을 참으로 만드는 모든 점이다. 그 모양을 밝혀라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
two parallel lines
(B)
two intersecting lines
(C)
three lines that all pass through a common point
(D)
three lines that do not all pass through a common point
(E)
a line and a parabola
풀이 과정
전략 다르게 정리하기

공통 인수 (x+y+1)을 약분해서 x² = y²만 남기고 싶어진다. 하지만 여기서 그 약분은 허용되지 않는다. (x+y+1)은 0이 될 수 있고, 그것이 0인 점은 x²과 y²이 무엇이든 이미 원래 식을 만족하기 때문이다. 그러므로 나누지 말고 다시 정리한다. 모든 항을 한쪽으로 옮기고 (곱) = 0 꼴이 될 때까지 인수분해한다. 곱이 0이 되는 것은 인수 중 하나가 0일 때뿐이므로, 문제는 아무것도 버리지 않는 완전한 경우들로 나뉜다. 각 경우는 직선이 되고, 그 직선들을 잠깐 그려 보면 어떤 설명이 맞는지 결정된다.

1STEP 1

모든 항을 한쪽으로 옮기기

모두 한쪽으로 옮겨진다.

x²(x+y+1)-y²(x+y+1)=0 ⟹ (x+y+1)(x²-y²)=0
2STEP 2

제곱의 차 인수분해하기

제곱의 차가 더 인수분해된다.

(x+y+1)(x²-y²)=(x+y+1)(x+y)(x-y)=0
3STEP 3

세 경우로 나누기

그러면 경우가 셋으로 나뉜다.

x+y+1=0 or x+y=0 or x-y=0
4STEP 4

세 직선 읽어내기

각 경우가 하나의 직선이다.

y=x, y=-x, y=-x-1
5STEP 5

공통점 확인하고 답 고르기

그중 둘은 평행하다, 보기 (D).

y=x ∩ y=-x → (0,0); y=x ∩ y=-x-1 → (-1/2,-1/2); y=-x ∥ y=-x-1
정답
한 점을 모두 지나지는 않는 세 직선
원래 식에 점을 넣어 확인한다. y = x 위의 (2, 2)에서는 양변이 4 * 5 = 20이다. y = -x 위의 (3, -3)에서는 양변이 9 * 1 = 9이다. y = -x-1 위의 (2, -3)에서는 x+y+1 = 0 이므로 양변이 모두 0인데, x² = 4와 y² = 9는 서로 다르다. 이 직선이 오직 약분하지 않고 남긴 인수에서만 나온다는 확인이다. 세 직선 위에 없는 점, 예를 들어 (1, 0)은 좌변이 1 * 2 = 2, 우변이 0 이므로 올바르게 제외된다. 개수도 맞는다. 이 방정식은 전체 차수가 3이고, 완전히 쪼개지는 3차 곡선은 정확히 세 직선으로 갈라지며 실제로 그렇게 나왔다.
💡핵심 정리

0이 될 수 있는 인수는 절대 약분하지 말고, 모든 항을 한쪽으로 옮겨 인수분해한 뒤 각 인수가 0인 경우를 저마다의 갈래로 남겨라.

  • 모든 항을 한쪽으로 옮기기
  • 제곱의 차 인수분해하기
  • 세 경우로 나누기
  • 세 직선 읽어내기
  • 공통점 확인하고 답 고르기

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