AMC 10 · 2016 · #9

학년 9 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
coordinate-geometrypythagorean-theoremmidpoint-formulalinear-equations-one-var convert-to-algebracoordinate-geometry ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremmidpoint-formula
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
정사각형 넷이 큰 정사각형 모서리에 있고 다섯째가 가운데에 돌아 있다. 공통 변의 성분을 답하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
8
(C)
9
(D)
10
(E)
11
풀이 과정
전략 변수 도입하기

그림 속 모든 길이는 단 하나의 수가 좌우하므로 도구 #4(변수 도입하기)가 핵심이다. 공통 변의 길이를 s라 두고 다른 길이를 전부 s로 나타낸다. 도구 #1(그림 그리기)로 그림을 좌표 위에 올리면 "중점이 꼭짓점에 놓인다"는 애매한 말이 "두 점이 같다"는 식으로 바뀐다. 도구 #17(공간 상상하기)은 기울기가 감추고 있는 사실 하나를 꺼내 준다. 가운데 정사각형은 같은 작은 정사각형을 45° 돌린 것이므로, 중심에서 꼭짓점까지의 거리는 s√(2)의 절반이다. 그다음 중점을 모서리 정사각형의 안쪽 꼭짓점에 맞추면 s에 대한 일차방정식 하나가 나온다.

1STEP 1

그림을 좌표에 올리기

좌표가 모든 꼭짓점을 이름 짓는다.

안쪽 꼭짓점 = (1-s, 1-s), 기울어진 꼭짓점 = (1/2,1/2± r), (1/2± r,1/2)
2STEP 2

기울어진 정사각형의 대각선 절반

돌아간 정사각형의 대각선 절반이 곧바로 나온다.

(대각선)² = s² + s² → 대각선 = s√(2), r = s√(2)/2
3STEP 3

중점 조건을 식으로 바꾸기

중점 조건이 하나의 방정식이 된다.

1/2+r/2 = 1-s ⟺ r = 1-2s
4STEP 4

s에 대한 일차방정식 풀기

그것은 일차여서 바로 풀린다.

s√(2)/2 = 1-2s → s√(2) = 2-4s → s(√(2)+4) = 2 → s = 2/(4+√(2))
5STEP 5

요구된 꼴로 고쳐 쓰기

유리화하면 11, 보기 (E).

s = 2/(4+√(2))·(4-√(2))/(4-√(2)) = (2(4-√(2)))/14 = (4-√(2))/7 → a+b = 11 → (E)
정답
11
수를 다시 그림에 넣어 확인하자. √(2)≈ 1.414이므로 변의 길이는 s = (4-√(2))/7 ≈ 0.369이다. 단위 정사각형의 한 변에서 모서리 정사각형 둘이 2s ≈ 0.739를 차지하므로 그 변 가운데에 1-2s ≈ 0.261의 빈틈이 남고, 기울어진 정사각형의 대각선 절반은 s√(2)/2 ≈ 0.261이라 그 빈틈에 정확히 닿는다. 그림과 일치한다. 또 다섯 정사각형의 넓이 합은 5s² ≈ 0.68로 1보다 넉넉히 작아 내부가 겹치지 않는 배치가 가능하다. a=4, b=7은 양의 정수이므로 a+b=11, 곧 보기 (E)이다.
💡핵심 정리

공통 변을 s라 하자. 큰 정사각형의 한 변에는 모서리 정사각형 둘이 1-2s만큼 빈틈을 남기고, 기울어진 정사각형의 대각선 절반 s√(2)/2가 그 빈틈을 꼭 채워야 하므로 s=(4-√(2))/7, 따라서 a+b=11이다.

  • 그림을 좌표에 올리기
  • 기울어진 정사각형의 대각선 절반
  • 중점 조건을 식으로 바꾸기
  • s에 대한 일차방정식 풀기
  • 요구된 꼴로 고쳐 쓰기

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