AMC 10 · 2016 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Lattice or Non-Aligned Polygon Area

coordinate-geometrypythagorean-theoremdifference-of-squaresfactors coordinate-geometrysystematic-enumeration ↑ 선수 지식: coordinate-geometrypythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 정수로 만든 네 점이 넓이를 아는 영역을 둘러싼다. 두 수의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

좌표가 문자로 주어져 있으므로, 적당한 수를 넣어 그림을 그려 보는 것이 어떤 사각형인지 알아내는 가장 빠른 길이다. 모양이 정해지면 넓이 구하기는 작은 문제들로 쪼개진다. 거리 공식으로 변의 길이를 재고, 모서리가 직각인지 확인한 뒤 곱하면 된다. 그러면 넓이 조건이 a와 b에 관한 깔끔한 식 하나가 되고, a와 b가 정수이므로 약수 쌍을 나열하고 불가능한 것을 지우는 것으로 마무리된다.

1STEP 1

점을 찍고 대칭 알아보기

도형이 원점을 중심으로 놓인다.

R = -P, S = -Q ⟹ PR 의 중점 = QS 의 중점 = (0,0)

2STEP 2

네 변의 길이 재기

마주 보는 변이 같게 나온다.

PQ = RS = (a-b)√(2), QR = SP = (a+b)√(2)

3STEP 3

모든 모서리가 직각임을 보이기

모든 모서리가 직각으로 드러난다.

PQ² + QR² = 2(a-b)² + 2(a+b)² = 4a² + 4b² = PR²

4STEP 4

넓이를 식 하나로 바꾸기

넓이가 단순한 곱이 된다.

[(a-b)√(2)][(a+b)√(2)] = 2(a-b)(a+b) = 16 ⟹ (a-b)(a+b) = 8

5STEP 5

8의 약수 쌍 나열하기

가능한 약수 쌍은 둘뿐이다.

8 = 1 × 8 = 2 × 4, a+b ＞ a-b ＞ 0

6STEP 6

한 쌍을 지우고 풀기

홀짝이 하나만 남겨 4가 된다, 보기 (B).

a+b = 4 ; a-b = 2 ⟹ a = 3, b = 1, a+b = 4

정답

값을 다시 넣어 확인하자. a=3, b=1이면 꼭짓점은 P(3,1), Q(1,3), R(-3,-1), S(-1,-3)이다. 변의 길이는 2√(2)와 4√(2)이고 2√(2) · 4√(2) = 16으로 주어진 넓이와 일치한다. 두 대각선은 모두 2√(10)으로 직사각형의 조건에도 맞는다. a ＞ b ＞ 0인 모든 정수 쌍을 훑어보아도 해는 이 하나뿐이므로 a+b=4는 가능한 값이 아니라 유일하게 정해지는 값이다. 큰 선택지인 (D) 12나 (E) 13이 되려면 훨씬 큰 a로 a²-b²=8을 만들어야 하는데, a²-b² ≥ a+b이므로 곧바로 8을 넘어 불가능하다.

💡핵심 정리

(a,b)와 (-a,-b)처럼 꼭짓점이 정반대 짝으로 나오면 그 도형은 원점을 중심으로 놓여 있고, 변의 길이를 재면 넓이 조건이 보통 작은 약수 찾기 문제로 바뀐다.

점을 찍고 대칭 알아보기
네 변의 길이 재기
모든 모서리가 직각임을 보이기
넓이를 식 하나로 바꾸기
8의 약수 쌍 나열하기
한 쌍을 지우고 풀기