AMC 10 · 2016 · #13

학년 10 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
trigonometric-ratiospythagorean-theoremspatial-visualizationestimation spatial-visualizationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: trigonometric-ratiospythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
거리를 아는 두 관찰자가 서로 수직인 방향으로 같은 것을 본다. 그 높이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3.5
(B)
4
(C)
4.5
(D)
5
(E)
5.5
풀이 과정
전략 공간 상상하기

비행기는 땅 위 공중에 있으므로 이 상황은 3차원이고, 두 사람의 시선은 서로 다른 두 개의 수직 평면 안에 놓여 있다. 이를 평평하게 눌러 주는 결정적인 한 수는 비행기를 땅으로 수직으로 내려 하나의 점 X를 만드는 것이다. 그러면 각 올려본각은 땅 위에 서 있는 직각삼각형이 되고, 두 집과 X는 종이 위에서 다룰 수 있는 평범한 삼각형 하나를 이룬다. 여기서 방위 표현이 숨은 선물인데, '정북'과 '정서'가 X에서 직각을 강제하고 바로 그 덕분에 피타고라스 정리를 쓸 수 있다. 그다음 고도를 h로 놓고 두 땅 위 거리를 모두 h로 나타내면, 기하 문제가 미지수 하나짜리 방정식 하나로 줄어든다.

1STEP 1

비행기를 땅으로 내리기

내리면 땅 위의 점이 생긴다.

PX = h, PX ⊥ ground, ∠ AXP = ∠ BXP = 90°
2STEP 2

북쪽과 서쪽은 직각으로 만난다

두 방향이 직각으로 만난다.

∠ AXB = 90° ⟹ AX² + BX² = AB² = 10² = 100
3STEP 3

올려본각을 땅 위 거리로 바꾸기

각 올려본각이 땅 위 거리를 준다.

tan 30° = h/AX = 1/√(3) → AX = h√(3); tan 60° = h/BX = √(3) → BX = h/√(3)
4STEP 4

미지수 하나짜리 방정식 하나

그러면 미지수 하나짜리 방정식 하나가 남는다.

(h√(3))² + (h/√(3))² = 3h² + h²/3 = 10h²/3 = 100 ⟹ h² = 30 ⟹ h = √(30)
5STEP 5

√(30)을 선택지 사이에 못박기

근의 범위를 잡으면 5.5, 보기 (D).

5² = 25 ＜ 30 ＜ 30.25 = 5.5², √(30)≈ 5.477, |5.477-5.5| ≈ 0.023 ≪ 0.477 ≈ |5.477-5|
정답
5.5
구한 높이를 다시 넣어 땅 위 삼각형이 맞아떨어지는지 확인한다. h = √(30)이면 앨리스 쪽 땅 위 거리는 AX = √(30)·√(3) = √(90) ≈ 9.49마일, 밥 쪽은 BX = √(30)/√(3) = √(10) ≈ 3.16마일이다. 그러면 AX² + BX² = 90 + 10 = 100 = 10²이므로 두 집은 실제로 10마일 떨어져 있다. 이 배분은 직관과도 맞는다. 밥의 가파른 60° 시선은 그가 비행기 바로 아래 점에 훨씬 가깝다는 뜻이고, 앨리스의 완만한 30° 시선은 멀다는 뜻인데 3.16 대 9.49가 바로 그 모습이다. 마지막으로 고도 5.48마일은 두 땅 위 거리보다는 작지만 같은 자릿수인데, 이는 30°와 60°라는 시각 조합에서 나올 법한 값이다.
💡핵심 정리

하늘에 있는 것은 먼저 땅으로 수직으로 내려라. 그림자 점 하나가 3차원 시선 문제를 평면 직각삼각형으로 바꿔 주고, 북쪽·서쪽 같은 방위 표현은 조용히 직각을 하나 건네준다.

  • 비행기를 땅으로 내리기
  • 북쪽과 서쪽은 직각으로 만난다
  • 올려본각을 땅 위 거리로 바꾸기
  • 미지수 하나짜리 방정식 하나
  • √(30)을 선택지 사이에 못박기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.