AMC 10 · 2016 · #14
학년 8 algebra sequences-geometricoptimizationquadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-geometric
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
끝없는 등비수열의 합이 양수이고 둘째 항이 정해져 있다. 가능한 가장 작은 합을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
(B)
2
(C)
$\sqrt{5}$
(D)
3
(E)
4
풀이 과정
전략 극단의 원리
문제는 가능한 가장 작은 값을 묻는 최소화 문제이므로 극단의 원리가 중심이 된다. 이를 쓰기 위해 첫째 항과 공비를 변수로 두고 두 사실을 식으로 바꾼 뒤, S를 r에 대한 하나의 식으로 정리한다. 그러면 S는 분모에 해당하는 한 값이 가장 클 때 가장 작아지고, 그 최댓값은 쉽게 찾을 수 있다.
1STEP 1
a와 r로 합 쓰기
문자 둘이 수열 전체를 설명한다.
S = a/(1-r), |r| ＜ 1
급수를 정하는 두 수에 이름을 붙이면 모든 사실이 식이 된다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
둘째 항으로 변수 줄이기
둘째 항이 그중 하나를 없앤다.
a r = 1 → a = 1/r, S = (1/r)/(1-r) = 1/(r - r²)
주어진 사실 하나가 미지수 하나를 없애므로 문제 전체가 변수 하나로 줄어든다.
7.EE.A.2Convert To Algebra3STEP 3
가장 작은 S는 가장 큰 분모
가장 작은 합은 가장 큰 분모를 요구한다.
S = 1/(r - r²) 는 r - r² 가 가장 클 때 가장 작다, 0 ＜ r ＜ 1
분수의 바닥을 반대 방향으로 밀면 분수 전체가 극단으로 밀린다.
합이 가장 작아지는 것은 분모가 가장 클 때인데, 분수가 반대로 움직이기 때문이다.
▸ 왜?
더 큰 양수로 나누는 것은 더 작은 역수를 곱하는 것이므로, 값이 내려간다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
그 맞바꿈이 결코 뒤집히지 않으므로, 합의 극단은 분모의 극단에 놓인다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
4STEP 4
분모를 최대로 만들기
완전제곱으로 만들면 4, 보기 (E).
r - r² = 1/4 - (r - 1/2)² ≤ 1/4 → S ≥ 1/1/4 = 4
제곱 빼기 상수의 꼴로 바꾸면 최댓값이 한눈에 보인다. 제곱은 더하거나 0에 머무를 뿐이기 때문이다.
7.EE.A.2Convert To Algebra정답
4
r = 1/2를 다시 넣으면 첫째 항 a = 1/r = 2, 둘째 항 = 2 * 1/2 = 1로 조건을 만족하고, 합은 2/(1 - 1/2) = 4이다. 0과 1 사이의 다른 허용된 r은 r - r²을 1/4보다 작게 만들어 S를 4보다 크게 하므로, 4가 진짜 최솟값이며 답 (E)와 일치한다.
💡핵심 정리
분수를 가장 작게 만들려면 분모를 가장 크게 만들어라.
- a와 r로 합 쓰기
- 둘째 항으로 변수 줄이기
- 가장 작은 S는 가장 큰 분모
- 분모를 최대로 만들기