AMC 10 · 2016 · #15
학년 6 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
문제가 '가질 수 있는 가장 큰 값'을 물으므로 이것은 최적화 문제이고, 도구 #14(극단의 원리)가 중심축이다. 하지만 합을 최대로 밀어붙이기 전에 합을 깔끔한 식으로 정리해야 한다. 도구 #17(공간 상상하기)은 각 꼭짓점이 마주 보는 면의 각 쌍에서 한 면씩을 고른다는 것을 보여 주고, 도구 #4(변수 도입하기)는 마주 보는 쌍에 이름을 붙여 지저분한 여덟 항의 합을 깔끔한 곱 (a+a')(b+b')(c+c')로 인수분해하게 해 준다. 합이 총합이 고정된 세 조각의 곱이 되고 나면, 극단의 원리가 그 조각들을 똑같이 만들라고 알려 주며, 도구 #6(추측하고 확인하기)이 똑같은 분할이 실제로 만들 수 있는 것임을, 그리고 한쪽으로 치우친 분할은 점수가 더 낮음을 확인해 준다.
꼭짓점에서 만나는 면 보기
각 꼭짓점이 각 쌍에서 하나씩 가져간다.
마주 보는 면은 같은 꼭짓점에 닿을 수 없으므로, 각 꼭짓점은 마주 보는 쌍마다 한 수씩을 강제로 골라야 한다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships마주 보는 쌍에 이름 붙이기
쌍에 이름을 붙이면 구조가 보인다.
마주 보는 면에 문자를 붙이면 '정육면체의 여덟 꼭짓점'이 여덟 개의 깔끔한 대수 항으로 바뀐다.
6.EE.A.2Introduce A Variable여덟 항의 합 인수분해하기
합 전체가 세 괄호로 인수분해된다.
(a+a')(b+b')(c+c')를 전개하면 꼭짓점마다 정확히 한 항이 나오므로, 합과 곱은 같은 것이다.
세 짝의 합을 곱하면 꼭짓점마다 항이 정확히 하나씩 나오므로, 합과 곱이 같은 것이 된다.
▸ 왜?
합의 곱을 펼치면 각 선택이 다른 선택에 퍼져, 조합마다 항이 하나씩 나온다.
▸ 왜?
각 꼭짓점은 마주 보는 짝마다 면을 하나씩 고르며, 그 선택은 서로 상관없이 이루어진다.
세 합을 똑같이 만들기
그 합이 고정이니 셋을 같게 만든다.
총합이 고정되어 있으면, 조각을 똑같이 나누는 것이 치우치게 나누는 것보다 곱이 크다 — 고르게 퍼뜨릴수록 곱이 가장 많이 쌓인다.
6.EE.A.1Extreme Principle직접 만들어 확인하기
실제 배치가 729를 준다, 보기 (D).
완벽하게 균형 잡힌 짝짓기 (2,7),(3,6),(4,5)가 존재하므로, 이상적인 9×9×9는 꿈이 아니라 실제로 도달할 수 있다.
6.EE.A.1Guess And Check정육면체-합은 결국 (위+아래)(앞+뒤)(좌+우)이고, 총합이 고정된 세 수는 고르게 나눌 때 곱이 가장 크다 — 그러니 마주 보는 모든 쌍의 합을 9로 만들자.
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- 여덟 항의 합 인수분해하기
- 세 합을 똑같이 만들기
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