AMC 10 · 2016 · #17
학년 10 geometry-2d
답을 골라 클릭하세요.
큰 삼각형의 이등분선 두 개가 제3의 선을 어디서 가로지르는지 직접 쫓는 것은 지저분하다. 그런데 높이는 이미 △ ABC를 두 직각삼각형 △ ABH와 △ ACH로 쪼개 놓았고, AH는 두 삼각형 각각의 한 변 전체다. △ ABH 안에서 B의 이등분선은 변 AH로 가는 체바선이고, △ ACH 안에서 C의 이등분선도 같은 변 AH로 가는 체바선이다. 이것이 바로 각의 이등분선 정리가 재어 주는 상황이라, 어려운 문제 하나가 서로 독립인 쉬운 문제 두 개로 바뀐다 (도구 #7). 거기에 이르려면 두 직각삼각형의 세 변 길이가 필요한데, 그것은 BH와 AH에 이름을 붙이고 피타고라스 정리를 두 번 쓰면 나온다 (도구 #4). 마지막으로 두 비를 뺄 수 있으려면 같은 끝점 A로부터의 거리로 바꿔 정리해야 한다 (도구 #15).
높이가 만든 조각에 이름 붙이기
높이가 밑변을 정수 조각으로 나눈다.
높이 하나가 같은 변을 공유하는 직각삼각형 두 개를 만들어서, 두 피타고라스 식이 서로 묶인다.
8.G.B.7Introduce A Variable빼서 수선의 발 찾기
빼면 수선의 발이 2에 있다.
공유하는 변이 바로 원하지 않는 미지수이고, 두 식을 빼면 한 번에 지워진다.
8.EE.C.8Introduce A VariableBD를 △ ABH 안에서 보기
한 이등분선이 더 작은 삼각형 안에서 작동한다.
이등분선은 네가 어느 삼각형을 보는지 신경 쓰지 않는다 — 작은 직각삼각형 안에서도 여전히 같은 각을 이등분한다.
10.G-SRT.B.5Identify SubproblemsCE를 △ ACH 안에서 보기
다른 하나도 자기 쪽에서 같게 한다.
높이의 반대쪽 절반에서도 같은 수를 쓰되, 그쪽 삼각형이 가진 두 변 길이를 쓴다.
10.G-SRT.B.5Identify Subproblems각 비를 A로부터의 거리로 바꾸기
각 비가 높이 위의 거리가 된다.
비는 각 부분이 같은 몫을 몇 개씩 가지는지를 말해 주므로, 각 부분은 전체의 그만큼의 분수다.
비는 각 부분이 같은 몫을 몇 개 가져가는지를 말하므로, 각 부분은 전체 선분의 그 몫이다.
▸ 왜?
각 몫은 전체의 같은 조각 하나이므로, 조각을 세면 길이가 곧바로 정해진다.
▸ 왜?
이등분선은 마주 보는 변을 양옆 두 변의 비로 나누며, 그것이 그 몫을 정한다.
두 거리를 빼기
빼면 8√5/15, 보기 (D).
선분의 같은 끝에서 잰 두 표시는 정확히 그 사이 간격만큼 차이 난다.
7.NS.A.1Organize Information In More Ways높이부터 먼저 그어라. 그러면 각 이등분선이 작은 직각삼각형 안으로 들어가고, 거기서 그 삼각형이 가진 두 변의 비대로 높이를 자른다.
- 높이가 만든 조각에 이름 붙이기
- 빼서 수선의 발 찾기
- BD를 △ ABH 안에서 보기
- CE를 △ ACH 안에서 보기
- 각 비를 A로부터의 거리로 바꾸기
- 두 거리를 빼기
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
