AMC 10 · 2016 · #6
학년 8 geometry-2d coordinate-geometryarea-trianglessymmetry-argument convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 꼭짓점이 곡선 위에 있고 하나는 원점, 한 변은 수평이다. 그 변의 길이를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
4
(B)
6
(C)
8
(D)
10
(E)
16
풀이 과정
전략 변수 도입하기
포물선 y = x²은 y축을 기준으로 한 거울상이다. 즉 점 (x, x²)이 포물선 위에 있으면 (-x, x²)도 위에 있다. BC가 가로 방향이라 B와 C는 같은 높이에 있으므로, 둘은 바로 그 거울 짝일 수밖에 없다. 도구 #1(그림 그리기)로 이 대칭을 눈에 보이게 하고, 도구 #4(변수 도입하기)로 반쪽 너비를 a라 두면 밑변과 높이가 모두 a에 대한 간단한 식이 된다. 그러면 넓이 조건은 미지수가 하나인 방정식 하나가 된다.
1STEP 1
대칭으로 B와 C 놓기
수평한 변이 양 끝을 대칭으로 만든다.
B = (-a, a²), C = (a, a²)
제곱은 부호를 지우므로, 포물선은 y축을 기준으로 완벽한 거울이 된다.
제곱은 부호를 지우므로, 그 곡선은 세로축에 대한 완벽한 거울이다.
▸ 왜?
어떤 수와 그 반대수는 제곱이 같으므로, 둘이 같은 높이를 준다.
짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.
▸ 왜?
그 축에 대해 비추면 아무것도 늘어나지 않고 곡선이 자기 위로 옮겨진다.
강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
2STEP 2
밑변과 높이 읽어내기
그러면 밑변과 높이가 읽힌다.
BC = 2a, 높이 = a²
가로 길이는 x의 차이, 높이는 밑변까지의 y의 차이다.
6.G.A.3Introduce A Variable3STEP 3
넓이 방정식 세우기
넓이가 단순한 세제곱이 된다.
1/2 · (2a) · a² = a³ = 64
1/2과 2가 서로 약분되어, 넓이가 곧 a³이라는 깔끔한 사실만 남는다.
6.G.A.1Introduce A Variable4STEP 4
풀어서 BC 구하기
풀면 8, 보기 (C).
a = ∛(64) = 4 → BC = 2a = 8 = (C)
세제곱근은 세제곱을 되돌리므로, a³ = 64는 곧장 a = 4를 가리킨다.
8.EE.A.2Introduce A Variable정답
8
다시 대입해 확인한다. a = 4이면 점은 B = (-4, 16), C = (4, 16)이고, (± 4)² = 16이므로 둘 다 y = x² 위에 있다. 밑변은 8, 높이는 16, 넓이는 1/2 · 8 · 16 = 64로 조건과 정확히 맞는다. 따라서 BC = 8은 (C)와 일치한다.
💡핵심 정리
포물선은 거울이라 같은 높이의 두 점은 ± a에 있고, 그러면 넓이는 그냥 a³이니 세제곱근으로 끝낸다.
- 대칭으로 B와 C 놓기
- 밑변과 높이 읽어내기
- 넓이 방정식 세우기
- 풀어서 BC 구하기