AMC 10 · 2017 · #16

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

tangent-circlescircle-equationcoordinate-geometrysystems-of-equations convert-to-algebracoordinate-geometry ↑ 선수 지식: tangent-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

안쪽 두 반원과 바깥 호 사이의 틈에 원 하나가 끼어 있다. 그 반지름을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{4}$

(B)

$\frac{6}{7}$

(C)

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

(D)

$\frac{5}{8}\sqrt{2}$

(E)

$\frac{11}{12}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

호는 계산하기 어렵지만 중심은 다루기 쉽다. 이 문제는 결국 다섯 개의 접함 조건이고, 그 모두가 같은 종류의 말을 한다: 두 중심 사이의 거리가 반지름들의 합 또는 차와 같다. 그래서 도구 #1(그림 그리기)을 특별한 방식으로 쓴다 — 호는 버리고 네 개의 중심만 남긴다. 도구 #4(변수 도입하기)로 모르는 반지름 r과 P의 위치에 이름을 붙이면 "틈에 끼어 있다"가 수로 바뀐다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 직선 JK 위에 좌표를 놓으면 각 접함이 거리 공식 하나의 식이 된다. 마무리는 도구 #15(다르게 정리하기)다: 세 식이 모두 x² + y²과 r²을 품고 있으므로, 두 식씩 빼면 제곱이 한 번에 모두 사라진다.

1STEP 1

모든 호를 거리로 바꾸기

모든 접함이 중심 거리가 된다.

AB = 2 + 1 = 3, CA = R - 2, CB = R - 1

2STEP 2

큰 반지름 끌어내기

그 거리들이 바깥 반지름을 3으로 만든다.

CA + CB = AB → (R-2) + (R-1) = 3 → 2R - 3 = 3 → R = 3

3STEP 3

모르는 값에 이름 붙이기

좌표가 남은 미지수를 이름 짓는다.

C = (0,0), A = (-1,0), B = (2,0), P = (x,y); AP = 2+r, BP = 1+r, CP = 3-r

4STEP 4

세 식 세우기

세 접함이 방정식 셋을 준다.

x² + y² &= (3-r)² = r² - 6r + 9 ; (x+1)² + y² &= (2+r)² = r² + 4r + 4 ; (x-2)² + y² &= (1+r)² = r² + 2r + 1

5STEP 5

빼서 제곱을 모두 지우기

빼면 모든 제곱이 지워진다.

(2)-(1): 2x + 1 &= 10r - 5 &&→ x = 5r - 3 ; (3)-(1): -4x + 4 &= 8r - 8 &&→ x = 3 - 2r

6STEP 6

풀고 원이 정말 있는지 확인

풀면 6/7, 보기 (B).

5r - 3 = 3 - 2r → 7r = 6 → r = 6/7; P = (9/7, 12/7) → (B)

정답

6/7

r = 6/7, P = (9/7, 12/7)로 세 접함을 정확히 확인해 보자. A = (-1,0)에서 AP = 1/7√(16² + 12²) = 20/7 = 2 + 6/7. B = (2,0)에서 BP = 1/7√(5² + 12²) = 13/7 = 1 + 6/7. C = (0,0)에서 CP = 1/7√(9² + 12²) = 15/7 = 3 - 6/7. 셋 모두 정확히 맞고, 6/7 ≈ 0.857은 이 원이 끼어 있는 반지름 1짜리 반원보다 조금 작아 자연스럽다. 선택지에 놓인 함정도 짚어 두자: 6/7 ≈ 0.857, √(3)/2 ≈ 0.866, 5/8√(2) ≈ 0.884는 서로 3% 안에 들어 있어서, 그림을 재는 방식으로는 (B), (C), (D)를 가릴 수 없다 — 오직 계산만이 결정한다.

💡핵심 정리

원이 맞닿을 때는 곡선을 잊고 중심을 이어라 — 모든 접함이 식에 넣을 수 있는 거리가 된다.

모든 호를 거리로 바꾸기
큰 반지름 끌어내기
모르는 값에 이름 붙이기
세 식 세우기
빼서 제곱을 모두 지우기
풀고 원이 정말 있는지 확인