AMC 10 · 2017 · #2
학년 7 algebra fraction-arithmeticratio-proportion symmetric-polynomialsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
0이 아닌 두 수의 합이 그 곱의 배수다. 두 역수의 합을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
2
(C)
4
(D)
8
(E)
12
풀이 과정
전략 변수 도입하기
두 수가 무엇인지 알려주지 않으므로, 도구 #4 (변수 도입하기)로 두 수를 a와 b로 이름 붙이고 주어진 한 가지 사실을 식으로 적습니다. 그다음 도구 #13 (대수로 바꾸기)으로 구하려는 역수의 합을 하나의 분수 (a+b)/ab로 바꾸면 주어진 식 a+b=4ab와 정확히 맞아떨어집니다. 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 구체적인 두 수에서 결과를 확인합니다.
1STEP 1
수에 이름 붙이고 사실 적기
문자 둘이 주어진 사실을 담는다.
a + b = 4ab
모르는 수에 이름을 붙이면 주어진 한 가지 사실을 하나의 식으로 적을 수 있습니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
구하려는 값을 한 분수로 적기
구하는 값은 합 나누기 곱이다.
1/a+1/b=b/ab+a/ab=(a+b)/ab
분모가 같은 두 분수는 하나의 분수로 더해지므로, 역수의 합은 곧 합을 곱으로 나눈 것입니다.
두 역수는 공통 분모 위에서 하나의 분수로 더해진다. 곧 합을 곱으로 나눈 것이다.
▸ 왜?
분자와 분모에 같은 것을 곱하면 값을 바꾸지 않고 각 분수의 이름만 달라진다.
동치분수분수의 분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 값은 변하지 않는다.
▸ 왜?
둘이 같은 분모 위에 놓이면 두 분자를 하나로 모을 수 있다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
3STEP 3
대입하고 정리하기
대입하면 4, 보기 (C).
(a+b)/ab=4ab/ab=4 → (C)
분자가 정확히 분모의 4배이면 그 분수는 4가 될 수밖에 없습니다.
7.EE.A.2Convert To Algebra정답
4
구체적인 두 수로 시험해 봅니다. a=1이라 하면 1+b=4b에서 b=1/3이고, 실제로 곱 1/3의 4배는 4/3로 합 1+1/3과 같습니다. 역수는 1과 3이고 합은 4로 (C)와 일치합니다. a=b=1/2도 성립하며 2+2=4가 됩니다.
💡핵심 정리
역수의 합은 언제나 합을 곱으로 나눈 것이므로, 합이 곱의 4배이면 역수의 합은 4가 됩니다.
- 수에 이름 붙이고 사실 적기
- 구하려는 값을 한 분수로 적기
- 대입하고 정리하기