AMC 10 · 2017 · #23
학년 8 algebra답을 골라 클릭하세요.
f는 g의 세 근을 모두 가지며 근이 정확히 하나 더 많다. 둘 다 모닉이므로 f는 g에 일차식 (x - r) 하나를 곱한 것과 같아야 한다. 그 네 번째 근을 r로 두고 곱을 전개한 뒤, 주어진 f와 항별로 계수를 비교한다. 계수 비교는 문제를 r, a, b, c를 결정하는 작은 일차방정식들로 바꿔 준다.
f를 g와 일차식의 곱으로 쓰기
사차식은 삼차식 곱하기 일차식이다.
모닉 사차식이 모닉 삼차식의 근을 모두 품고 있으면, 그것은 그 삼차식에 남은 (x - r) 하나를 곱한 것일 뿐이다.
6.EE.B.6Introduce A Variable곱을 전개하기
전개하면 모든 계수가 명시적으로 쓰인다.
분배해서 전개하면 인수분해 형태가 계수를 직접 비교할 수 있는 형태로 바뀐다.
6.EE.A.3Introduce A Variable계수를 비교해 r 구하기
한 계수가 여분의 근을 알려 준다.
두 다항식이 같으면 계수가 항마다 일치해야 하므로, 각 거듭제곱이 저마다 작은 방정식을 준다.
같은 두 다항식은 계수마다 서로 맞아야 하므로, 각 차수가 저마다 작은 식을 하나씩 준다.
▸ 왜?
두 식이 모든 입력에서 같다면, 대응하는 계수도 서로 같아야 한다.
▸ 왜?
인수분해된 꼴이 정당한 것은, 근에서 0이 되는 다항식이 그 근의 일차 인수를 지니기 때문이다.
a, c, 그리고 b 구하기
나머지가 곧바로 따라 나온다.
r을 알고 나면 나머지 계수는 각자의 방정식에 다시 대입하기만 하면 모두 나온다.
7.NS.A.2Identify Subproblemsf(1) 계산하기
계산하면 -7007, 보기 (B).
f(1)은 곧 f의 계수들의 합이고, 인수분해 형태는 같은 값으로 가는 깔끔한 두 번째 길을 준다.
6.EE.A.2Introduce A Variable한 모닉 다항식이 더 작은 모닉 다항식의 근을 모두 품고 있으면, 그것은 작은 쪽에 남은 (x - r) 하나를 곱한 것일 뿐이고, 계수를 맞춰 보면 모든 것이 드러난다.
- f를 g와 일차식의 곱으로 쓰기
- 곱을 전개하기
- 계수를 비교해 r 구하기
- a, c, 그리고 b 구하기
- f(1) 계산하기