AMC 10 · 2017 · #4

학년 8 geometry-2d

유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Shortest Route in Weighted Network

pythagorean-theorempercentageratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 경로는 정사각형의 두 변을 따라가고 다른 하나는 가로지른다. 몇 퍼센트 짧아지는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$30\%$

(B)

$40\%$

(C)

$50\%$

(D)

$60\%$

(E)

$70\%$

풀이 과정

전략 그림 그리기

이것은 도형 위의 경로 문제이므로 도구 #1 (그림 그리기)로 시작하는 것이 자연스럽습니다: 정사각형을 그리고 두 경로를 표시합니다. 두 경로는 서로 독립적인 두 측정으로 나뉘므로, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 Jerry의 거리와 Silvia의 거리를 따로 구합니다. Jerry의 거리는 두 변이고, Silvia의 거리는 대각선인데 정사각형 안의 직각삼각형이 이를 피타고라스 길이로 바꿔 줍니다. 마지막으로 도구 #8 (단위 살펴보기)로 비교를 정확히 합니다: '얼마나 더 짧은지'는 그 차이를 Jerry 거리의 퍼센트로 잰 것입니다.

1STEP 1

그림 그리고 Jerry 경로 재기

변을 1로 두면 두 경로가 구체적이 된다.

J = 1 + 1 = 2

2STEP 2

Silvia 경로는 대각선

곧은 경로는 대각선이다.

S = √(1² + 1²) = √(2)

3STEP 3

대각선이 얼마나 짧은지 구하기

차이는 약 0.59다.

J - S = 2 - √(2) ≈ 2 - 1.41 = 0.59

4STEP 4

차이를 퍼센트로 바꾸기

긴 경로로 나누면 30 퍼센트, 보기 (A).

(J - S)/J = 0.59/2 ≈ 0.29 = 29% → (A)

정답

30%

정사각형의 대각선은 항상 두 변을 도는 것보다 짧으므로, 답은 100% 미만의 양수 퍼센트여야 합니다. 정확한 값은 (2-√2)/2=1-√2/2≈ 0.293으로 29%에 반올림되며, 40%보다 30%에 더 가까우므로 (A)가 맞습니다. 변의 길이를 10으로 바꿔도 Jerry는 20, Silvia는 √(200)≈ 14.14로 역시 약 29% 더 짧아, 크기와 무관함을 보여 줍니다.

💡핵심 정리

정사각형을 두 변으로 도는 대신 곧장 가로질러 가면 거리를 약 30% 아낄 수 있는데, 대각선은 한 변의 √2배이고 두 변의 합은 2이기 때문입니다.

그림 그리고 Jerry 경로 재기
Silvia 경로는 대각선
대각선이 얼마나 짧은지 구하기
차이를 퍼센트로 바꾸기

그림 그리고 Jerry 경로 재기

Silvia 경로는 대각선

대각선이 얼마나 짧은지 구하기

차이를 퍼센트로 바꾸기

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