AMC 10 · 2017 · #9

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometrylinear-equations-two-varinterval-arithmetic caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometrylinear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 값 중 둘이 같아야 하고 셋째가 그것을 넘지 않아야 한다. 그 결과 나오는 모양을 밝혀라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

a single point

(B)

two intersecting lines

(C)

three lines whose pairwise intersections are three distinct points

(D)

a triangle

(E)

three rays with a common point

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

문제는 어떤 두 개가 같은지 정해 주지 않은 채 "두 개"라고만 말하므로, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 들어가는 것이 자연스럽습니다: 가능한 쌍은 세 가지뿐이고, 각 쌍마다 그 문장이 방정식 하나와 부등식 하나라는 평범한 대수로 바뀝니다. 애매한 문장을 통째로 다루는 것보다 쉬운 문제 세 개를 푸는 편이 낫습니다. 각 경우의 방정식은 직선을 나타내고 부등식은 그 직선의 일부만 남기므로, 도구 #1 (그림 그리기)이 세 개의 대수 결과를 하나의 그림으로 바꿔 줍니다. 마지막으로 이 문제는 모양을 고르는 객관식이므로, 첫인상을 믿는 대신 도구 #3 (가능성 지우기)으로 완성된 그림을 각 설명과 하나씩 대조합니다.

1STEP 1

가능한 세 가지 동점으로 쪼개기

가능한 동점은 정확히 셋이다.

A = 3, B = x+2, C = y-4; 세 경우는 A = B ≥ C, A = C ≥ B, B = C ≥ A

2STEP 2

첫 번째 경우: 3과 x+2가 동점

첫 동점이 세로 조각을 준다.

3 = x+2 → x = 1; y-4 ≤ 3 → y ≤ 7; 조각 = {(1, y) : y ≤ 7}

3STEP 3

두 번째 경우: 3과 y-4가 동점

둘째가 가로 조각을 준다.

3 = y-4 → y = 7; x+2 ≤ 3 → x ≤ 1; 조각 = {(x, 7) : x ≤ 1}

4STEP 4

세 번째 경우: x+2와 y-4가 동점

셋째가 비스듬한 조각을 준다.

x+2 = y-4 → y = x+6; 3 ≤ x+2 → x ≥ 1 (동치로 y ≥ 7); 조각 = {(x, x+6) : x ≥ 1}

5STEP 5

세 조각이 모두 같은 점에서 멈춘다

셋 모두 같은 점에서 멈춘다.

3 = x+2 = y-4 → x = 1이고 y = 7 → (x,y) = (1,7)

6STEP 6

그림을 선택지와 대조하기

따라서 모양은 세 반직선이다, 보기 (E).

S = {(1,y) : y ≤ 7} ∪ {(x,7) : x ≤ 1} ∪ {(x,x+6) : x ≥ 1} → (E)

정답

한 점을 공유하는 세 반직선

각 조각에서 점을 하나씩 확인해 봅니다. (1,0)에서 세 값은 3, 3, -4입니다: 앞의 두 개가 같고 -4 ≤ 3이므로 S에 속하며, 아래로 가는 반직선 위에 있습니다. (-5,7)에서는 3, -3, 3입니다: 바깥 두 개가 같고 -3 ≤ 3이므로 S에 속하며, 왼쪽으로 가는 반직선 위에 있습니다. (4,10)에서는 3, 6, 6입니다: 뒤의 두 개가 6에서 같고 3 ≤ 6이므로 S에 속하며, 비스듬한 반직선 위에 있습니다. 잘린 방향도 맞습니다: (2,7)에서 세 값은 3, 4, 3이라 3에서 동점이지만 남은 4가 3보다 크므로, 가로 조각은 정말로 x=1에서 멈추고 오른쪽으로 이어지지 않습니다. 마찬가지로 (1,8)은 3, 3, 4가 되어 조건을 어기므로 세로 조각도 정말로 y=7에서 멈춥니다. 한 가지 주의할 점: 부등호를 뒤집으면 세 반직선이 모두 반대 방향으로 돌아가지만 여전히 한 점에서 나오는 세 반직선이므로, 정답 (E)라는 글자만으로는 방향 실수를 잡아낼 수 없습니다 — 방향을 확인해 주는 것은 이 점 검사들입니다.

💡핵심 정리

"두 개가 같고 나머지는 더 크지 않다"는 결국 가장 큰 값이 동점이라는 말이니, 쌍을 하나씩 시도해 보세요 — 동점마다 직선이 하나 생기고, 남은 값이 그 직선을 반직선으로 잘라 줍니다.

가능한 세 가지 동점으로 쪼개기
첫 번째 경우: 3과 x+2가 동점
두 번째 경우: 3과 y-4가 동점
세 번째 경우: x+2와 y-4가 동점
세 조각이 모두 같은 점에서 멈춘다
그림을 선택지와 대조하기