AMC 10 · 2017 · #12

학년 12 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
roots-of-unitycomplex-polar-formtrigonometric-ratios symmetry-argumentsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: complex-polar-formroots-of-unity
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
방정식 z의 12제곱은 64에는 복소수 해가 열두 개 있습니다. 그중 실수부가 0보다 큰 해들이 있습니다. 그 해들만 모두 더한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
4
(C)
$\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
(D)
$2\sqrt{2}+\sqrt{6}$
(E)
$(1+\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3})i$
풀이 과정
전략 다르게 정리하기

a + bi 꼴로 적으면 열두 개의 해는 손으로 전개해서 분류하고 싶지 않은 근호 덩어리가 됩니다. 그런데 같은 열두 개의 수에는 두 번째 저장 방식이 있습니다. 크기(0에서의 거리)와 방향(각도)으로 기록하는 것입니다. 이 문제에 딱 맞는 형식입니다. 12제곱은 크기를 곱하고 각도를 더하는 일이므로, 방정식이 쉬운 크기 조건 하나와 쉬운 각도 조건 하나로 깔끔하게 갈라지기 때문입니다. 해를 각도로 저장하고 나면 "실수부가 양수"는 "세로축의 엄격히 오른쪽"이라는 시각적 조건이 되어 그림에서 바로 읽히고, 남은 합은 거울처럼 마주 보는 해끼리 허수부가 상쇄되어 무너집니다.

1STEP 1

모든 해의 크기는 똑같다

열두 해는 모두 크기가 같습니다.

r¹² = 64 = 2⁶ → r = 2⁶/12 = 2¹/2 = √(2)
2STEP 2

열두 개의 해에 각도로 이름 붙이기

각도가 열두 해를 구별합니다.

z_k = √(2)(cos(30° k) + isin(30° k)), k = 0, 1, 2, …, 11
3STEP 3

오른쪽을 가리키는 해만 남기기

오른쪽을 가리키는 다섯 개만 남습니다.

Re(z_k) = √(2)cos(30° k) ＞ 0 ⇔ 30° k ∈ {0°, 30°, 60°, 300°, 330°}
4STEP 4

거울 짝으로 i 없애기

거울 짝을 지으면 허수부가 사라집니다.

(a + bi) + (a - bi) = 2a, S = √(2) + 2√(2)cos 30° + 2√(2)cos 60°
5STEP 5

실수부를 더하기

남은 실수부를 더하면 2루트2 더하기 루트6입니다.

S = √(2)(1 + 2 · √(3)/2 + 2 · 1/2) = √(2)(2 + √(3)) = 2√(2) + √(6)
정답
2√(2)+√(6)
답의 두 형태가 수치로 일치합니다. 2√(2) + √(6) ≈ 2.828 + 2.449 = 5.277이고 √(2)(2 + √(3)) ≈ 1.414 × 3.732 ≈ 5.277입니다. 크기 점검도 맞습니다. 더하는 해는 다섯 개이고 각각의 실수부는 최대 √(2) ≈ 1.414이므로 합은 5√(2) ≈ 7.07보다 작아야 하고, 양의 실수부 네 개가 더 얹히므로 √(2)보다는 커야 합니다. 이 범위만으로 (A) 2와 (B) 4가 지워지고, (C) √(2) + 2√(3) ≈ 4.88과는 정확한 계산이 갈라 줍니다. (E)는 구조만으로 탈락합니다. 살아남은 해는 실근 하나와 켤레 짝 두 쌍이므로 합에 i가 남을 수 없기 때문입니다. 한 가지 더 짚자면, 제외한 세로축 위의 두 해는 i√(2)와 -i√(2)로 합이 0이라, 실수로 이 둘을 포함했더라도 총합은 달라지지 않습니다. 정말로 답을 망치는 실수는 왼쪽을 가리키는 해를 끼워 넣는 것입니다.
💡핵심 정리

z¹² = 64의 열두 해는 반지름 √(2)인 원 위에 균등하게 놓이므로, 엄격히 오른쪽을 가리키는 다섯 개만 남기고 거울 짝끼리 허수부를 상쇄시킨 뒤 남은 실수부를 더하면 됩니다.

  • 모든 해의 크기는 똑같다
  • 열두 개의 해에 각도로 이름 붙이기
  • 오른쪽을 가리키는 해만 남기기
  • 거울 짝으로 i 없애기
  • 실수부를 더하기

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