AMC 10 · 2017 · #13

학년 8 geometry-2d
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role
combinations-basicsymmetry-argumentpermutations-basic burnsides-lemmacasework ↑ 선수 지식: combinations-basic
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
원판 여섯 개가 삼각형으로 놓여 있습니다. 맨 위에 하나, 가운데 줄에 둘, 아래 줄에 셋입니다. 셋은 파랑, 둘은 빨강, 하나는 초록으로 칠합니다. 전체 삼각형을 돌리거나 뒤집어서 겹칠 수 있으면 같은 칠로 봅니다. 서로 다른 칠이 몇 가지인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
6
(B)
8
(C)
9
(D)
12
(E)
15
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2(빠짐없이 나열하기): 색의 개수가 정해진 "몇 가지" 문제는 우선 자리를 모두 구별한다고 보고 전부 세는 데서 출발한다 — 6!/3! 2! 1!=60. 도구 #17(공간 상상하기): 삼각형을 머릿속으로 돌리고 접어 보면 대칭이 6개 있고 각 대칭이 원판을 어떻게 뒤섞는지 보인다. 도구 #16(관점 바꾸기): 서로 다른 그림을 곧장 세는 대신, 각 대칭이 바뀌지 않게 두는 그림이 몇 개인지 세어 평균을 낸다 — 그 평균이 곧 서로 다른 그림의 수다(번사이드의 아이디어). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 그 평균은 쉬운 조각으로 나뉜다 — 항등, 두 회전, 세 반사를 따로 처리한다.

1STEP 1

자리를 구별해 전부 세기

자리를 구별해 세면 60가지입니다.

6!/3! 2! 1!=720/(6 · 2 · 1)=60
2STEP 2

삼각형의 여섯 대칭 나열하기

삼각형의 대칭은 여섯 가지입니다.

{항등, 120° 회전, 240° 회전, 반사 3개} → 6개 대칭
3STEP 3

각 회전이 그대로 두는 그림 세기

회전은 어떤 칠도 그대로 두지 못합니다.

꼭짓점 모두 한 색, 중점 모두 한 색 → 불가능; 고정=0
4STEP 4

각 반사가 그대로 두는 그림 세기

반사는 각각 네 가지를 그대로 둡니다.

2_어느 쌍이 파랑 × 2_축 위 파랑/초록 = 4 (반사마다)
5STEP 5

고정 개수의 평균 내기

고정 개수를 평균 내면 12입니다.

(60+0+0+4+4+4)/6=72/6=12 → (D)
정답
12
조각들이 서로 들어맞는다: 자리를 구별한 그림 60개, 크기 6인 대칭군, 그리고 고정 개수 60,0,0,4,4,4의 합 72는 6의 깔끔한 배수다. 대칭이 아무것도 합치지 않는다면 60/6=10개쯤을 예상하겠지만, 답 12는 그보다 조금 크다. 회전이 아무것도 고정하지 못해(합쳐 주는 그림이 더 적어) 개수를 10보다 끌어올리기 때문이다. 12는 선택지에 있으므로 (D)가 맞다.
💡핵심 정리

자리를 구별한 그림 60개를 센 다음, 삼각형의 6가지 뒤집기·돌리기마다 그대로 남는 그림 수를 세고(60,0,0,4,4,4), 그 평균 72 ÷ 6=12가 진짜 서로 다른 그림의 개수다.

  • 자리를 구별해 전부 세기
  • 삼각형의 여섯 대칭 나열하기
  • 각 회전이 그대로 두는 그림 세기
  • 각 반사가 그대로 두는 그림 세기
  • 고정 개수의 평균 내기

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