AMC 10 · 2017 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

equilateral-trianglelaw-of-cosinessimilar-figuressymmetry-argument symmetry-argumentidentify-subproblems ↑ 선수 지식: equilateral-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정삼각형 ABC에서 시작합니다. 직선 AB를 따라 B를 지나 점 B프라임까지 가되 BB프라임의 길이가 AB의 3배가 되게 합니다. 같은 회전 방향으로 직선 BC를 따라 C를 지나 C프라임까지, CC프라임이 BC의 3배가 되게 하고, 직선 CA를 따라 A를 지나 A프라임까지, AA프라임이 CA의 3배가 되게 합니다. 바깥 삼각형의 넓이를 원래 삼각형의 넓이와 비교하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

9:1

(B)

16:1

(C)

25:1

(D)

36:1

(E)

37:1

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림을 그리고 편리한 변의 길이 AB = 1을 잡는다. 세 연장은 모두 같은 방식으로 만들어졌으므로, 중심을 기준으로 그림을 120도 돌리면 자기 자신과 겹친다. 따라서 바깥 삼각형 A'B'C'도 정삼각형이다. 이로써 문제는 바깥 변 하나를 구하는 단 하나의 작은 문제로 줄어든다. 닮은 삼각형에서 넓이는 변의 비의 제곱으로 늘어나기 때문이다. 바깥 변 하나, 예를 들어 B'C'은 두 변과 그 사이 각을 쉽게 읽어낼 수 있는 삼각형 안에 들어 있다.

1STEP 1

그림을 그리고 대칭을 이용하기

대칭 덕분에 바깥 삼각형도 정삼각형입니다.

AB=BC=CA=1, △ A'B'C'은 정삼각형

2STEP 2

삼각형 B'BC'의 두 변

모퉁이 삼각형의 두 변을 읽습니다.

BB'=3, BC'=BC+CC'=1+3=4

3STEP 3

두 변 사이의 각

둘 사이 각은 60도가 아니라 120도입니다.

∠ B'BC' = 180° - 60° = 120°

4STEP 4

직각삼각형으로 B'C' 구하기

직각삼각형을 만들면 바깥 변이 나옵니다.

B'C'² = B'D² + DC'² = 5² + 12 = 37, B'C'=√(37)

5STEP 5

변의 비를 제곱하기

변의 비를 제곱하면 37 대 1입니다.

([△ A'B'C'])/([△ ABC]) = (√(37)/1)² = 37

정답

37:1

각 바깥 변이 원래 변을 훨씬 넘어 늘어나므로 바깥 삼각형은 ABC보다 훨씬 커야 하고 큰 비가 예상된다. 틀린 보기 9, 16, 25, 36은 모두 완전제곱수인데, 이는 바깥 변이 정수로 나올 때만 가능하다. 여기서는 120도 모서리 때문에 B'C'² = 37인 비제곱수가 되어 변 sqrt(37)이 무리수이므로 37:1이 자연스럽다. 같은 삼각형에 코사인 법칙을 써도 일치한다: 3² + 4² - 2(3)(4)cos120 = 9 + 16 + 12 = 37.

💡핵심 정리

도형을 길이 배율로 키우면 넓이는 그 배율의 제곱으로 커지므로, 바깥 변 하나만 구하면 넓이의 비가 모두 정해진다.

그림을 그리고 대칭을 이용하기
삼각형 B'BC'의 두 변
두 변 사이의 각
직각삼각형으로 B'C' 구하기
변의 비를 제곱하기

그림을 그리고 대칭을 이용하기

삼각형 B'BC'의 두 변

두 변 사이의 각

직각삼각형으로 B'C' 구하기

변의 비를 제곱하기

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