AMC 10 · 2017 · #18
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
도구 #1 (그림 그리기): 원, 늘린 지름, 수직 선분이 겹쳐 있으므로 라벨을 단 그림을 그려야 각 요소가 어떻게 맞물리는지 보인다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): '큰 직각삼각형 ADE 찾기', '그 안에 숨은 작은 직각삼각형 ACB 알아채기', '닮은 도형을 길이로 바꾸기'로 작업을 나눈다. 도구 #4 (변수 도입하기): 목표 삼각형의 두 변 AC와 CB를 이름 붙이고 닮음으로 그 길이를 확정한다.
그림 설정하기
길이를 이어 붙이면 밑변 전체가 나옵니다.
직각을 표시한 깔끔한 그림은 어떤 길이가 어느 직각삼각형의 변인지 보여 준다.
4.G.A.1Draw A DiagramAE 구하기
직각삼각형에서 빗변을 구합니다.
직각삼각형의 두 변을 알면 a²+b²=c²로 빗변이 정해진다.
8.G.B.7Identify Subproblems닮은 삼각형 발견하기
지름 위의 각도 직각이라 두 삼각형이 닮습니다.
지름 위에 그려진 각은 항상 직각이어서 두 번째 직각삼각형을 거저 얻는다.
지름 위에 그린 각은 언제나 직각이며, 그것이 짝이 되는 직각삼각형을 하나 더 내준다.
▸ 왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으므로, 지름의 중점은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있다.
▸ 왜?
두 삼각형이 한 각을 공유하고 저마다 직각을 지니므로, 대응하는 모든 변이 하나의 비를 이룬다.
변의 길이 비례하기
닮음비로 두 변을 축소합니다.
닮은 삼각형의 대응변은 모두 같은 배율로, 여기서는 두 빗변의 비로 줄어든다.
8.G.A.4Introduce A Variable넓이 계산하기
두 변을 곱해 반으로 나누면 37분의 140입니다.
직각삼각형에서는 두 변이 밑변과 높이이므로 넓이는 그 곱의 절반이다.
6.G.A.1Identify Subproblems가장 긴 변이 지름인 삼각형은 직각을 가지므로, 작은 삼각형 ABC는 큰 직각삼각형 ADE를 축소한 복사본일 뿐이다. 대응변을 맞추고 변 곱하기 변의 절반을 취하면 넓이 140/37, 선택지 (D)를 얻는다.
- 그림 설정하기
- AE 구하기
- 닮은 삼각형 발견하기
- 변의 길이 비례하기
- 넓이 계산하기
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