AMC 10 · 2017 · #24
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
문제가 묻는 것은 비이므로, 그림의 크기는 정해져 있지 않고 모양만 정해져 있다. 그 모양을 좌우하는 두 길이를 (AB = a), (BC = b)로 이름 붙이면 나머지 길이는 두 닮음 조건에 의해 모두 결정된다. 닮음 하나하나가 곧 공짜 방정식이다. 첫 번째 닮음은 (CD)를 정하고, 두 번째 닮음은 (E)의 위치를 정한다. (E)에 좌표가 붙으면 그 점은 사각형을 네 개의 삼각형으로 나누므로, 넓이 조건이 (a)와 (b)에 대한 방정식 하나가 된다. 마지막에 양변을 (b⁴)로 나누면 (a/b)만 남고, 그것이 바로 구하려는 값이다.
두 직각이 사다리꼴을 만든다
두 직각이 사다리꼴을 만듭니다.
(BC) 위에 똑바로 서 있는 두 변은 서로 평행할 수밖에 없으므로, 이 도형은 (BC)를 높이로 하는 사다리꼴이다.
같은 선분에 모두 직각으로 선 두 변은 평행해야 하므로, 그 도형은 사다리꼴이다.
▸ 왜?
두 직선을 같은 각으로 가로지르는 직선은 그 둘을 평행하게 만들며, 각각의 직각이 그런 짝이다.
▸ 왜?
평행선은 어디서나 간격이 일정하므로, 공유된 선분이 사다리꼴의 높이 노릇을 한다.
변에 이름 붙이고 CD 구하기
첫 닮음이 남은 변을 정해 줍니다.
닮음은 (BC)가 두 평행변의 기하평균임을 말해 주므로, (CD)는 자유롭지 않고 (a)와 (b)에 의해 정해진다.
10.G-SRT.B.5Introduce A Variable두 번째 닮음을 정확히 읽기
두 번째 닮음은 꼭짓점 순서대로 읽어야 합니다.
꼭짓점 글자를 순서대로 읽으면 어느 변이 어느 변의 복사본인지 정확히 알 수 있어, 닮음비 하나로 두 변이 한꺼번에 나온다.
10.G-SRT.A.2Introduce A Variable좌표로 E를 못 박기
좌표가 점 E를 못 박습니다.
(E)에서의 직각은 (E)를 (BC)를 지름으로 하는 원 위에 가두고, 빗변에 내린 수선 관계가 두 변의 길이를 정확한 좌표로 바꿔 준다.
10.G-SRT.C.8Identify Subproblems세 삼각형의 넓이가 같다
세 작은 삼각형의 넓이가 모두 같습니다.
바깥쪽 세 삼각형은 밑변과 높이가 서로 완벽히 상쇄되므로, (a)와 (b)가 무엇이든 넓이가 똑같다.
10.G-GPE.B.7Identify Subproblems17배 조건을 방정식으로 바꾸기
17배 조건이 하나의 방정식이 됩니다.
세 조각이 똑같기 때문에 "17배"가 "사다리꼴 전체는 작은 삼각형 20개"로 바뀌고, 이는 방정식 하나가 된다.
9.A-CED.A.1Introduce A Variable비 하나만 남기기
정리하면 비만 남은 사차식이 됩니다.
(b⁴)로 나누는 것은 그림의 크기를 버리고 모양만 남기는 일이며, 문제가 처음부터 물은 것이 바로 그 모양이다.
9.A-REI.B.4Introduce A Variable근을 고르고 이중근호 풀기
이중근호를 풀면 2 더하기 루트5입니다.
두 근은 서로 역수이므로 (AB ＞ BC)라는 조건 하나만으로 어느 쪽이 진짜 답인지 정해진다.
11.N-RN.A.2Eliminate Possibilities문제에 적힌 닮음은 하나하나가 공짜 방정식이다. 모양을 좌우하는 두 길이에 이름을 붙이고 닮음을 하나씩 써먹으면, 도형 문제는 풀 수 있는 방정식 하나로 줄어든다.
- 두 직각이 사다리꼴을 만든다
- 변에 이름 붙이고 CD 구하기
- 두 번째 닮음을 정확히 읽기
- 좌표로 E를 못 박기
- 세 삼각형의 넓이가 같다
- 17배 조건을 방정식으로 바꾸기
- 비 하나만 남기기
- 근을 고르고 이중근호 풀기
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