AMC 10 · 2017 · #3
학년 7 algebra fraction-arithmeticlinear-equations-two-var convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
0이 아닌 두 실수 x, y가 (3x+y)/(x-3y) = -2를 만족합니다. 이 사실만 써서 두 번째 식 (x+3y)/(3x-y)의 값을 구하고 다섯 보기 중에서 고르세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
-3
(B)
-1
(C)
1
(D)
2
(E)
3
풀이 과정
전략 변수 도입하기
도구 #4 (변수 도입하기): 주어진 식은 두 미지수 x와 y 사이의 단 하나의 관계다. 분수를 없애면 평범한 일차방정식이 되고, 그 방정식을 풀면 x와 y가 어떻게 묶여 있는지 드러난다. 그 관계만 알면 목표 식은 하나의 수로 줄어든다. 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 조건을 만족하는 구체적인 쌍 (x,y)를 골라 답을 바로 읽는다. 도구 #3 (가능성 지우기)으로 결과를 다섯 보기와 맞춘다.
1STEP 1
분수 없애기
양변에 분모를 곱해 분수를 없앱니다.
(3x+y)/(x-3y)=-2 → 3x+y = -2(x-3y)
분모를 곱해 없애면 분수 방정식이 보통 방정식이 된다.
분모를 곱해 없애면 분수 방정식이 평범한 방정식이 된다.
▸ 왜?
분모를 곱하면 나눗셈이 되돌려져 분수가 사라진다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
양변에 같은 일을 해도 등식은 참으로 남으므로, 걷어 내면서 잃는 것이 없다.
양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
2STEP 2
x와 y의 관계 찾기
정리하면 두 수가 서로 같다는 뜻입니다.
3x+y=-2x+6y → 5x=5y → x=y
조건 전체가 결국 x와 y가 같다는 말이다.
6.EE.A.3Introduce A Variable3STEP 3
목표 식에 대입하기
그 관계를 넣으면 문자가 모두 약분됩니다.
(x+3y)/(3x-y)=(y+3y)/(3y-y)=4y/2y=2
x=y이면 두 부분 모두 y의 배수라서 y가 나누어 떨어진다.
7.EE.A.1Guess And Check4STEP 4
보기와 맞추기
남는 값은 2입니다.
(x+3y)/(3x-y)=2 → (D)
계산해 얻은 단 하나의 값이 곧 답이다.
6.NS.A.1Eliminate Possibilities정답
2
구체적인 쌍으로 확인한다. x=y=1을 넣으면 주어진 식은 (3(1)+1)/(1-3(1))=4/-2=-2로 조건과 맞고, 목표 식은 (1+3(1))/(3(1)-1)=4/2=2이다. x=y=2로 해도 목표 값은 똑같이 2가 되어, 답이 x와 y의 실제 크기가 아니라 x=y라는 사실에만 달려 있음을 확인한다.
💡핵심 정리
먼저 분수를 없애라: (3x+y)/(x-3y)=-2는 3x+y=-2(x-3y)를 뜻하고, 정리하면 x=y가 되며, 그러면 (x+3y)/(3x-y)=4y/2y=2, 즉 보기 (D)이다.
- 분수 없애기
- x와 y의 관계 찾기
- 목표 식에 대입하기
- 보기와 맞추기