경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2017B · #4

학년 7 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

fraction-arithmeticlinear-equations-two-var convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

0이 아닌 두 실수 x와 y가

\frac{3x+y}{x-3y}

=-2를 만족한다. 이 사실만 이용해 두 번째 식

\frac{x+3y}{3x-y}

의 수값을 구하고, 다섯 보기 중 하나와 맞춘다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-3

(B)

-1

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4 (변수 도입하기): 주어진 식은 두 미지수 x와 y 사이의 단 하나의 관계다. 분수를 없애면 평범한 일차방정식이 되고, 그 방정식을 풀면 x와 y가 어떻게 묶여 있는지 드러난다. 그 관계만 알면 목표 식은 하나의 수로 줄어든다. 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 조건을 만족하는 구체적인 쌍 (x,y)를 골라 답을 바로 읽는다. 도구 #3 (가능성 지우기)으로 결과를 다섯 보기와 맞춘다.

1STEP 1

분수 없애기

x-3y ≠ 0이므로 양변에 분모를 곱해 분수를 없앤다: 3x+y=-2(x-3y).

(3x+y)/(x-3y)=-2 → 3x+y = -2(x-3y)

2STEP 2

x와 y의 관계 찾기

전개하고 같은 항을 모으면 3x+y=-2x+6y가 5x=5y가 되어 x=y이다.

3x+y=-2x+6y → 5x=5y → x=y

3STEP 3

목표 식에 대입하기

x=y를 $\frac{x+3y}{3x-y}$ 에 넣으면 $\frac{4y}{2y}$ 가 되고, y ≠ 0이라 y가 약분되어 2가 된다.

(x+3y)/(3x-y)=(y+3y)/(3y-y)=4y/2y=2

4STEP 4

보기와 맞추기

목표 식은 2와 같고, 이는 보기 (D)이다.

(x+3y)/(3x-y)=2 → (D)

정답

구체적인 쌍으로 확인한다. x=y=1을 넣으면 주어진 식은

\frac{3(1)+1}{1-3(1)}

\frac{4}{-2}

=-2로 조건과 맞고, 목표 식은

\frac{1+3(1)}{3(1)-1}

\frac{4}{2}

=2이다. x=y=2로 해도 목표 값은 똑같이 2가 되어, 답이 x와 y의 실제 크기가 아니라 x=y라는 사실에만 달려 있음을 확인한다.

💡핵심 정리

먼저 분수를 없애라: $\frac{3x+y}{x-3y}$ =-2는 3x+y=-2(x-3y)를 뜻하고, 정리하면 x=y가 되며, 그러면 $\frac{x+3y}{3x-y}$ = $\frac{4y}{2y}$ =2, 즉 보기 (D)이다.

분수 없애기
x와 y의 관계 찾기
목표 식에 대입하기
보기와 맞추기

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분수 없애기

x와 y의 관계 찾기

목표 식에 대입하기

보기와 맞추기

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