AMC 10 · 2017 · #6
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
구하려는 점은 x축 위에 못 박혀 있으므로 그 점을 (x,0)이라고 부르면 미지의 좌표 두 개가 하나로 줄어듭니다. 이렇게 이름을 붙이는 순간 나머지는 기계적으로 진행됩니다. '그 점이 원 위에 있다'는 말이 '그 점이 중심에서 정확히 반지름만큼 떨어져 있다'는 거리 조건으로 바뀌고, 그것은 x에 대한 방정식으로 쓸 수 있기 때문입니다. 그 방정식을 쓰려면 먼저 중심과 반지름이 필요하므로 일을 세 조각으로 나눕니다. 중심 찾기, 반지름 찾기, 그다음 x 구하기입니다. 중심을 표시하고 원을 그려 보면 그림이 정확해지고, x축이 왜 원과 한 번이 아니라 두 번 만나는지도 보입니다. 마지막에는 x의 후보 두 개를 정리해야 하는데, 그중 하나는 답이 아니라 지워야 할 가능성입니다.
지름에서 중심 찾기
지름의 중점이 곧 중심입니다.
원의 중심은 어느 지름을 잡아도 그 균형점이므로, 두 끝점을 평균 내면 중심에 도착합니다.
원의 중심은 어떤 지름이든 그 균형점이므로, 두 끝점을 평균 내면 그곳에 닿는다.
▸ 왜?
두 점의 평균은 그 위치를 고르게 나눈 것이며, 그것이 중점이다.
▸ 왜?
두 끝점 모두 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으므로, 중심은 그 사이 한가운데에 있어야 한다.
반지름 구하기
중심에서 끝점까지 재면 반지름이 나옵니다.
두 점 사이의 가로 이동과 세로 이동은 직각삼각형의 두 변이 되므로, 직선거리는 그 빗변입니다.
8.G.B.8Identify Subproblems모르는 점에 이름 붙이기
x축 위의 점은 y좌표가 0입니다.
점을 (x,0)이라 부르면 'x축 위에 있다'는 조건이 기호 안에 이미 들어가므로, 남는 것은 거리 조건뿐입니다.
8.G.B.7Introduce A Variable가로 변의 길이 구하기
제곱을 풀면 해가 둘 나옵니다.
어떤 수와 그 반대수는 제곱이 같으므로 제곱 방정식은 갈래가 둘이고, 여기서는 그 둘이 원의 양쪽 교점입니다.
8.EE.A.2Introduce A Variable이미 주어진 교점 지우기
이미 아는 쪽을 버리면 8입니다.
방정식이 두 교점을 모두 돌려주면, 이미 주어져 있던 쪽이 지워야 할 쪽입니다.
8.G.B.8Eliminate Possibilities지름은 중심을 공짜로 알려 준다. 두 끝점을 평균 내고, 피타고라스 정리로 반지름 하나만큼 재어 나가고, 제곱 방정식의 해가 둘인 이유는 직선이 실제로 원을 두 번 자르기 때문임을 기억하자.
- 지름에서 중심 찾기
- 반지름 구하기
- 모르는 점에 이름 붙이기
- 가로 변의 길이 구하기
- 이미 주어진 교점 지우기