AMC 10 · 2017 · #8
학년 9 algebra답을 골라 클릭하세요.
길이가 하나도 주어지지 않았고, 구할 수도 없다. 모든 길이를 두 배로 늘려도 조건은 그대로이기 때문이다. 그러므로 a와 b를 따로 쫓는 것은 존재하지도 않는 것을 쫓는 셈이다. 해결책은 문제가 실제로 묻는 값 자체에 이름을 붙이는 것, 즉 k = (a/b)²로 두고 식 전체를 k만의 이야기로 만드는 것이다. 이것이 통하는 이유는, 피타고라스 정리를 쓰고 나면 식의 모든 항이 길이 네 개의 곱이 되어 양변을 b⁴로 나누면 순수한 비만 남고 단위가 사라지기 때문이다. 그렇게 나오는 것은 k에 대한 이차방정식 하나이고, 부호를 한 번 살피면 제곱한 비가 될 수 있는 근이 어느 쪽인지 바로 가려진다.
변에 이름 붙이고 대각선 구하기
대각선은 두 변에서 바로 나옵니다.
대각선은 새로운 미지의 길이가 아니다. 직사각형의 직각이 그것을 두 다리를 이미 아는 삼각형의 빗변으로 바꿔 준다.
직사각형의 직각이 대각선을 이미 아는 두 변 위의 빗변으로 만든다.
▸ 왜?
그 직각삼각형에서 대각선 위의 정사각형은 두 변 위의 정사각형을 더한 것과 같다.
▸ 왜?
모든 길이가 같은 배율을 지니므로, 문제가 묻는 비에는 크기가 남지 않는다.
비 문장을 식으로 옮기기
비가 같다는 문장을 등식으로 옮깁니다.
같은 두 분수는 내항과 외항을 곱하는 순간 깔끔한 곱셈식 한 줄이 되고, 제곱근은 이미 가진 것에 이름을 붙인 것뿐이다.
9.A-CED.A.2Convert To Algebra구하는 값을 미지수로 삼기
구하는 값 자체를 미지수로 삼으면 이차식이 됩니다.
모든 항이 길이 인수를 같은 개수만큼 품고 있을 때 그중 하나로 나누면 크기는 지워지고 모양만 남는데, 문제가 정해 준 것은 애초에 모양뿐이다.
9.A-SSE.A.2Introduce A Variable풀고 가능한 근만 남기기
음수 근을 버리면 황금비의 역수가 남습니다.
대수는 이차방정식의 두 근을 모두 돌려주지만, 실제 길이 비의 제곱이 될 수 있는 것은 그중 하나뿐이다.
9.A-REI.B.4Eliminate Possibilities문제가 크기가 아니라 모양만 정해 줄 때는 묻는 비 자체를 문자 하나로 놓고 식 전체를 한 변의 알맞은 거듭제곱으로 나누면, 길이는 약분되어 사라지고 식 하나만 남는다.
- 변에 이름 붙이고 대각선 구하기
- 비 문장을 식으로 옮기기
- 구하는 값을 미지수로 삼기
- 풀고 가능한 근만 남기기