AMC 10 · 2017 · #9
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
두 교점을 하나씩 직접 찾으려면 제곱이 들어간 연립방정식을 풀어야 해서 지저분해진다. 대신 각 원을 방정식으로 바꾸고(대수로 바꾸기), 두 교점에서는 두 방정식이 동시에 성립한다는 점을 이용한다. 한 방정식에서 다른 방정식을 빼면 같은 정보가 다시 정리되어(다르게 정리하기) 제곱항이 하나도 없는 방정식 하나가 남고, 그 남은 방정식이 바로 문제에서 묻는 직선이다. 먼저 간단히 그림을 그려 보면(그림 그리기) 두 원이 실제로 만나는지 확인할 수 있고, '만나는가', '방정식 쓰기', '빼기', '풀기'로 나누면(작은 문제로 쪼개기) 각 단계가 작아진다.
두 원이 실제로 만나는지 확인하기
중심 거리를 재면 두 원이 정말 만난다는 것이 확인됩니다.
두 원은 중심이 서로 품기에는 너무 멀고 빗나가기에는 너무 가까울 때 정확히 두 점에서 만난다.
8.G.B.8Draw A Diagram각 원을 방정식으로 쓰기
각 원을 방정식으로 씁니다.
원의 방정식은 반지름을 미리 제곱해 둔 거리 공식일 뿐이다.
10.G-GPE.A.1Convert To Algebra교점에서는 두 방정식이 모두 성립한다
교점에서는 두 방정식이 모두 성립합니다.
두 원 위에 동시에 있다는 것은 참인 조건이 둘이라는 뜻이고, 참인 두 조건으로 만든 것은 여전히 참이다.
9.A-CED.A.3Identify Subproblems빼서 제곱항 없애기
빼면 제곱항이 통째로 사라집니다.
두 원이 똑같은 x² + y²을 갖고 있으므로, 빼면 휘어진 부분이 지워지고 곧은 부분만 남는다.
두 원이 같은 제곱 항을 지니므로, 빼면 굽은 부분이 지워지고 직선만 남는다.
▸ 왜?
똑같은 덩어리를 지닌 두 양을 빼면 그 덩어리가 통째로 사라진다.
▸ 왜?
각 원의 식은 중심까지의 거리를 반지름의 제곱과 견준 것이며, 그 덩어리는 거기서 온다.
c 읽어내기
남은 일차식에서 3을 읽습니다.
제곱항이 사라지고 나면 나눗셈 한 번으로 끝난다.
9.A-REI.B.3Convert To Algebra교점에서는 두 원의 방정식이 모두 참이므로, 한 식에서 다른 식을 빼면 제곱항이 사라지고 그 두 점을 지나는 직선이 정확히 남는다.
- 두 원이 실제로 만나는지 확인하기
- 각 원을 방정식으로 쓰기
- 교점에서는 두 방정식이 모두 성립한다
- 빼서 제곱항 없애기
- c 읽어내기