AMC 10 · 2018 · #10

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

absolute-valuesystems-of-equationscoordinate-geometry caseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: absolute-valuesystems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 점이 두 조건을 동시에 만족해야 합니다. 직선 x 더하기 3y는 3 위에 있고, 이중 절댓값 x의 절댓값 빼기 y의 절댓값의 절댓값이 1이어야 합니다. 두 조건을 모두 만족하는 실수 점이 몇 개인지 세어 다섯 보기 중에서 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기): 해의 개수를 가장 깔끔하게 보는 방법은 직선 x+3y=3이 절댓값 도형을 가로지르는 모습을 그려 보는 것이다. 만나는 점 하나가 해 하나다. 이 그림을 정확한 개수로 바꾸기 위해 도구 #4(변수 도입하기)로 x=3-3y를 대입해 한 변수로 줄인다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 절댓값의 부호에 따라 일을 나눈다. 3-3y와 y가 부호를 바꾸는 지점들이 수직선을 몇 구간으로 자르고, 각 구간 안에서는 절댓값 기호가 평범한 더하기/빼기 부호로 바뀐다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 경계에서 겹친 점을 버리고 서로 다른 해만 센다.

1STEP 1

절댓값 도형 그려 보기

이중 절댓값은 두 경우로 갈라집니다.

||x|-|y||=1 ⇔ |x|-|y|=± 1

2STEP 2

한 변수로 줄이기

직선을 대입해 변수를 하나로 줄입니다.

x=3-3y → ||3-3y|-|y||=1

3STEP 3

직선을 부호 구간으로 나누기

부호가 바뀌는 자리에서 구간을 나눕니다.

y ＜ 0: (3-3y)-(-y)=3-2y ＞ 3

4STEP 4

가운데 구간 0 ≤ y ≤ 1 풀기

가운데 구간이 해 두 개를 줍니다.

3-4y=1→(3/2,1/2); 3-4y=-1→(0,1)

5STEP 5

구간 y ＞ 1 풀기

위쪽 구간의 한 해는 이미 센 것입니다.

2y-3=1→(-3,2); 2y-3=-1→ y=1 (이미 셈)

6STEP 6

서로 다른 해 세기

서로 다른 해는 3개입니다.

{(3/2,1/2), (0,1), (-3,2)}→ 3 쌍→(C)

정답

각 순서쌍을 원래 두 식에 넣어 확인한다. (3/2,1/2): 3/2+3·1/2=3이고 ||3/2|-|1/2||=1. (0,1): 0+3=3이고 ||0|-|1||=1. (-3,2): -3+6=3이고 ||{-3}|-|2||=|3-2|=1. 셋 모두 맞고, y ＜ 0 구간은 해가 없음을 보였으므로 빠뜨린 점이 없다. 세 번의 교차는 그림과도 일치한다. 음의 기울기를 가진 직선이 × 모양 대각선 띠를 지나면 유한하고 적은 횟수만 만난다.

💡핵심 정리

절댓값 기호가 막으면, 한 변수로 대입하고, 각 안쪽이 0이 되는 곳에서 수직선을 나눠, 조각마다 평범한 직선을 풀고, 서로 다른 답을 세라 — 여기선 3, 보기 (C)다.

절댓값 도형 그려 보기
한 변수로 줄이기
직선을 부호 구간으로 나누기
가운데 구간 0 ≤ y ≤ 1 풀기
구간 y ＞ 1 풀기
서로 다른 해 세기