AMC 10 · 2018 · #14
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
이 방정식이 까다로운 이유는 x가 서로 다른 두 밑 안에 숨어 있고, 밑이 3x인 로그와 밑이 2x인 로그를 곧바로 비교하는 규칙이 없기 때문입니다. 해결책은 양변이 공유하는 값에 이름을 붙이는 것입니다. 그 공통값을 y라고 부릅니다. 그러면 각 로그 등식은 평범한 지수 등식 (3x)^y = 4와 (2x)^y = 8이 되고, x는 다시 다루기 쉬운 자리로 돌아옵니다. 거기서부터 두 우변을 같은 수로 맞추면 지수 y가 약분되어 사라지고, 남는 것은 x에 대한 단순한 다항방정식입니다.
공통값에 이름 붙이고 로그 벗기기
공통값에 이름을 붙여 로그를 벗깁니다.
로그는 모습을 바꾼 지수일 뿐이므로, 그 지수에 이름을 붙이면 두 식이 평범한 거듭제곱이 됩니다.
11.F-LE.A.4Introduce A Variable두 우변을 같은 수로 맞추기
두 우변을 같은 수로 맞춥니다.
두 식은 우변이 같은 수가 되어야 비로소 서로 말을 걸 수 있고, 64가 4와 8이 만나는 지점입니다.
11.N-RN.A.1Organize Information In More Ways지수 y 약분하기
그러면 지수를 약분할 수 있습니다.
0이 아닌 고정된 지수로 거듭제곱하면 서로 다른 두 양수가 같은 값이 될 수 없으므로, 거듭제곱이 같으면 밑도 같습니다.
0이 아닌 정해진 거듭제곱은 서로 다른 두 양수를 같은 곳으로 보내지 않으므로, 거듭제곱이 같으면 밑도 같다.
▸ 왜?
같은 밑의 두 거듭제곱이 같으면 지수도 같아야 하며, 반대로 읽어도 마찬가지다.
▸ 왜?
지수는 인수를 몇 번 쓰는지를 세므로, 밑이 크면 거듭제곱도 확실히 커진다.
다항방정식 풀기
남은 다항방정식을 풉니다.
x²으로 그냥 나누고 싶어지지만, 인수분해를 하면 정의역이 어떤 근을 버리는지가 눈에 보입니다.
11.A-APR.B.3Convert To Algebra정의역 확인하고 p와 q 더하기
정의역을 확인하고 더하면 31입니다.
후보로 나온 근은 원래 방정식의 정의역 조건을 통과해야 비로소 해가 됩니다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities미지수가 로그의 밑 안에 갇혀 있을 때는 양변이 공유하는 지수에 이름을 붙이세요. 로그가 평범한 거듭제곱으로 바뀌고, 그 공통 지수는 스스로 약분되어 사라집니다.
- 공통값에 이름 붙이고 로그 벗기기
- 두 우변을 같은 수로 맞추기
- 지수 y 약분하기
- 다항방정식 풀기
- 정의역 확인하고 p와 q 더하기