AMC 10 · 2018 · #15
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문제 전체가 여덟 개의 대칭 이동(회전 네 개와 대칭 네 개)이 칸들을 어떻게 옮기는지에 관한 것이므로 Tool #17(공간 상상하기)이 중심이다. 격자를 머릿속으로 회전하고 접어서 어떤 칸들이 같은 색으로 묶이는지 본다. Tool #1(그림 그리기)로 칸을 좌표에 고정하면 접기가 정확해진다. Tool #7(작은 문제로 쪼개기)로 칸을 위치 유형(중심, 중점선 팔, 대각선 팔, 내부)으로 나누고, Tool #2(빠짐없이 나열하기)로 자유로운 색 선택이 몇 개 남는지 센다. 마지막으로 '각 색이 적어도 하나'라는 표현은 Tool #16(관점 바꾸기) 신호다: 모든 칠을 센 뒤 한 가지 색뿐인 두 경우를 뺀다.
칸들이 묶여서 움직인다
대칭이 칸을 묶음으로 만듭니다.
어떤 이동이 한 칸을 다른 칸 위로 밀어 놓으면, 둘이 같은 색일 때만 그림이 일치한다.
어떤 이동이 한 칸을 다른 칸 위로 옮긴다면, 두 칸의 색이 같아야만 그림이 맞아떨어진다.
▸ 왜?
대칭은 격자를 늘리지 않고 자기 위로 옮기므로, 칸은 이름만 바뀔 뿐 달라지지 않는다.
▸ 왜?
각 칸은 정확히 한 칸으로 옮겨지므로, 색이 그대로 넘겨져야 한다.
8분의 1로 접기
격자를 8분의 1로 접습니다.
대칭인 그림을 대칭선을 따라 접으면 모든 복제본이 하나의 기준 타일 위로 포개진다.
4.G.A.3Draw A Diagram독립적인 칸 세기
독립적인 묶음은 열 개입니다.
조각을 칸의 위치별로 정리하면 모든 묶음을 빠짐없이 한 번씩 센다.
8.G.A.3Make A Systematic List묶음마다 두 가지 색
묶음마다 두 색이므로 2의 10제곱입니다.
각각 자유로운 예-아니오 색 스위치 열 개를 곱하면 2¹⁰개의 그림이 된다.
6.EE.A.1Identify Subproblems금지된 두 격자 빼기
단색 두 개를 빼면 1022입니다.
먼저 모두 센 뒤, 한 가지 색만 쓴 두 그림만 빼면 된다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement대칭인 격자를 대칭선을 따라 접으면 진짜 자유로운 칸은 10개뿐이다. 각각 검은색 아니면 흰색이라 2¹⁰=1024가지이고, 전부 검은·전부 흰 경우를 빼면 1022가지로 보기 (B)이다.
- 칸들이 묶여서 움직인다
- 8분의 1로 접기
- 독립적인 칸 세기
- 묶음마다 두 가지 색
- 금지된 두 격자 빼기
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